Suite chaotique...

[ThSQ]

Un coup de trigo ?

[ffpower]

Bon ben suivons Thsq.D abord,on peut supposer dans [-1,1],sinon la suite tend vers l infini.On peut donc écrire avec .

En utilisant on en déduit que en posant où représente la partie fractionnaire de x.

L idée est maintenant de regarder le développement binaire de .Car on remarque que le développement binaire de est le meme que celui de mais décalé de n termes.(Ex alors )

est une suite dans [0,1[. converge si et seulement si il existe tel que les valeurs d adherences de sont incluses dans {l,1-l}(on voit ca en regardant les antecedents de la limite de par .Maintenant 2 cas:
-Si converge,alors ca implique que le développement binaire de est nul a partir d un certain rang,auquel cas stationne a 0,et stationne a 1
-Si l et 1-l sont 2 valeurs d adherences distinctes de ,alors on prouve facilement qu on doit avoir 1-l=2l donc l=1/3.Les valeurs d adherence de sont donc 1/3=.010101... et 2/3=.101010...,ce qui va impliquer que le développement binaire de vaut assymptotiquement ...010101..,auquel cas alterne entre 1/3 et 2/3 pour n assez grand,et stationne en -1/2

On a donc que converge si et seulement si elle stationne a 0 ou -1/2,et on a précisément l ensemble des tels que converge.C est l ensemble des avec \theta ayant un développement binaire assymptotique soit nul soit de la forme 010101... .Cet ensemble est évidemment dénombrable et dense dans [0,1].

[ffpower]

Merci^^.Ca fait un certain nb de fois que je répond a une question,et qu on ne me donne aucun commentaire,donc ca fait toujours plaisir lol,je commencais a douter de ma redaction..