Somme alternée

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alice02
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Somme alternée

par alice02 » 30 Déc 2017, 16:44

Soit et des entiers positifs tels que:
que:

Démontrer que est un multiple de .



pascal16
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Re: Somme alternée

par pascal16 » 30 Déc 2017, 17:33

si a et b ne sont pas premiers entre eux, je te le démontre avec n'importe quel chiffre

alice02
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Re: Somme alternée

par alice02 » 30 Déc 2017, 22:34

Comment l'as-tu fait alors pascal16?

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chadok
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Re: Somme alternée

par chadok » 30 Déc 2017, 23:41

Je croyais faire mon gros malin en sommant en 2 minutes sur Excel, mais que nenni :pleur4:
J'arrive juste à une somme de 0.69352611191895
et 1979*0.69352611191895 = 1372.4881754876...

Bon, je vais me coucher :cote: je lirai la réponse demain :cote:

Trident2
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Re: Somme alternée

par Trident2 » 31 Déc 2017, 01:07

alice02 a écrit:Comment l'as-tu fait alors pascal16?


Il veut simplement dire qu'il faut que tu rajoutes l'hypothèse a et b premiers entre eux car sinon en remplaçant a et b par 1979a et 1979b, on démontre le résultat..

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Ben314
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Re: Somme alternée

par Ben314 » 31 Déc 2017, 10:18

Trident2 a écrit:Il veut simplement dire qu'il faut que tu rajoutes l'hypothèse a et b premiers entre eux car sinon en remplaçant a et b par 1979a et 1979b, on démontre le résultat..
Si on veut, on peut rajouter l'hypothèse précisant que a et b sont premier entre eux, mais mathématiquement parlant, ça n'est pas utile de le rajouter :
Tel qu'il est, l'énoncé demande de montrer que, quelque soient a et b tels que a/b=... on a divisible par 1979. Évidement, si c'est vrai, c'est en particulier vrai lorsque la fraction est sous forme irréductible. Et réciproquement, si c'est vrai pour a/b sous forme irréductible alors ça sera vrai pour tout autre forme a'/b' vu que a' sera un multiple de a.

Et, bien sûr, si on ne précise pas que a et b sont premiers entre eux, on ne risque pas de démontrer le résultat par un "tour de passe passe" consistant à remplacer a et b par1979a et 1979b vu que l'énoncé demande de montrer la propriété pour n'importe quel a et b tels que a/b=...

Bref, lorsqu'un énoncé dit "Soient a et b tels que ... montrer que ...", ben ça veut évidement dire qu'on doit montrer le résultat pour tout a et b tels que et pas uniquement pour certains d'entre eux.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

pascal16
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Re: Somme alternée

par pascal16 » 31 Déc 2017, 11:13

On peut aussi le voir (très banalement) dans 2 sens différents :
_ supposer que a et b sont premier entre eux ne modifie pas le sujet.
_ si on le démontre dans le cas général, alors il sera vrai pour a et b premier entre eux.

On peut le faire avec un programme et des 'Biginteger' mais c'est pas marrant.
On peut le faire avec des méthodes classique de divisibilité, d'équation diophantienne.
On peut le faire avec une série tronquée d'un intégrale et d'un reste calculables.

alice02
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Re: Somme alternée

par alice02 » 31 Déc 2017, 11:14

Merci pour la clarification Ben314. :)

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Ben314
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Re: Somme alternée

par Ben314 » 31 Déc 2017, 11:14

Sinon, concernant la preuve,
Soit premier et, pour tout .

(1)

(2) Si , on a

Donc, pour on a qui est nul si , c.à.d. .
A.N. : p=1979 (premier) => n=1319
Modifié en dernier par Ben314 le 02 Jan 2018, 11:59, modifié 2 fois.
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Trident2
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Re: Somme alternée

par Trident2 » 31 Déc 2017, 13:27

Ben314 a écrit:
Trident2 a écrit:Il veut simplement dire qu'il faut que tu rajoutes l'hypothèse a et b premiers entre eux car sinon en remplaçant a et b par 1979a et 1979b, on démontre le résultat..
Si on veut, on peut rajouter l'hypothèse précisant que a et b sont premier entre eux, mais mathématiquement parlant, ça n'est pas utile de le rajouter :
Tel qu'il est, l'énoncé demande de montrer que, quelque soient a et b tels que a/b=... on a divisible par 1979. Évidement, si c'est vrai, c'est en particulier vrai lorsque la fraction est sous forme irréductible. Et réciproquement, si c'est vrai pour a/b sous forme irréductible alors ça sera vrai pour tout autre forme a'/b' vu que a' sera un multiple de a.

Et, bien sûr, si on ne précise pas que a et b sont premiers entre eux, on ne risque pas de démontrer le résultat par un "tour de passe passe" consistant à remplacer a et b par1979a et 1979b vu que l'énoncé demande de montrer la propriété pour n'importe quel a et b tels que a/b=...

Bref, lorsqu'un énoncé dit "Soient a et b tels que ... montrer que ...", ben ça veut évidement dire qu'on doit montrer le résultat pour tout a et b tels que et pas uniquement pour certains d'entre eux.



Oui, tu as tout à fait raison,je suis allé un peu trop vite. L'énoncé se traduit en fait par "montrer que si jamais a et b sont des entiers positifs vérifiant a/b=..., alors forcément a est un multiple de 1979".

nodgim
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Re: Somme alternée

par nodgim » 01 Jan 2018, 19:31

Fameux problème !
J'ai compris que pour un nombre p de la forme 6k+5, alors avec une suite de 4k+3 termes, on obtenait la solution.
Exemple avec 11 :
1/1 -1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 - ( 1/1 + 1/2 + 1/3)
Qu'on peut réécrire [11] :
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/10 + 1/9 + 1/8 =
1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 - 1/5 - 1/4 - 1/1 - 1/2 - 1/3 = 0 [11]

 

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