Recherche à partir d'un exercice de 6ème

[SteeL]

Bonjour à tous,

Je commence mon aventure dans ce forum avec une question qui n'arrête pas de me tarauder depuis 1 ou 2 semaines déjà. Cette colle m'a été posée par.... Un professeur de 6ème (en faite à la fille d'un ami, mais c'est la même chose) ! Personne chez eux n'a trouvé la réponse et c'est pareil chez moi après quelques calculs !

Voici le problème :

on dit que le nombre 2178 est réversible dans la multiplication par 4 car quel est le plus petit nombre réversible dans la multiplication par 9 ?

À vrai dire j'ai trouvé la réponse "logique" sur internet, mais j'aimerai la réponse mathématiques !

[FONT=Century Gothic]Étape 1[/FONT]
Je suis parti sur l'équation :


Ce qui donne grosso modo
où a, b, c et d sont des entiers connus et où M, C, D et U sont des entiers compris entre 0 et 9
Seulement, je ne me rappelle plus comment trouver l'ensemble solution d'une équation à 4 inconnues avec une seule équation :mur:

Je serai donc heureux de trouvé la réponse ici :we:

[FONT=Century Gothic]Étape 2[/FONT]
Comme posé à l'étape précédente, mon équation est partiellement fausse... Car je fixe à 4 chiffres le nombre réversible ! Donc en question subsidiaire, j'ai réussi à écrire la première partie de l'équation :
où X est le nombre de chiffres du nombre
mais j'ai du mal avec l'écriture de la 2ème partie je ne vois pas comment écrire les x "dans l'autre sens" et encore moins comment résoudre cela...

Tout cela pour dire :help: :help: :help:

Merci par avance pour votre aide, en vous souhaitant une bonne fin de journée.

PS : je suis censé être ingénieur BAC+5 (post-prépa)... Vous pouvez donc vous "lâcher" sur les explications :id:

EDIT : J'ai fait un petit programme informatique pour trouver des solutions valides, mais c'est une méthode brute force... Pas très mathématiques tout ça...

[Skullkid]

Bonjour, perso j'aurais répondu 0, mais j'imagine qu'on cherche le plus petit entier non nul. Je sais pas si c'est ça que tu appelles la réponse "logique" mais si on appelle x un nombre réversible dans la multiplication par 9, le premier chiffre de x est forcément 1, sinon 9x n'aurait pas le même nombre de chiffres que x. Il s'ensuit que le dernier chiffre de x est forcément 9.

Ces informations suffisent pour chercher à tâtons la solution de l'exercice. 19 est le seul nombre à deux chiffres susceptible de marcher, et il ne marche évidemment pas. Donc on cherche x sous la forme d'un nombre à 3 chiffres x = 100 + 10d + 9, et on s'aperçoit que ça ne marche pas non plus (il faudrait d = -1). Donc on passe à 4 chiffres x = 1000 + 100c + 10d + 9, on obtient l'équation 890c + 80 = 10d, qui implique forcément que c = 0 (10d ne saurait être supérieur à 890), puis que d = 8 : 1089 est le nombre recherché, c'est d'ailleurs le seul nombre à 4 chiffres qui soit solution.

En fait on peut rajouter des infos qui auraient pu servir si la solution avait eu un plus grand nombre de chiffres : le deuxième chiffre de x ne peut être que 0 ou 1, sinon 9x n'a pas le même nombre de chiffres que x. De plus, 9x est divisible par 9, donc la somme de ses chiffres est divisible par 9, donc la somme des chiffres de x est divisible par 9, donc x est divisible par 9.

Évidemment on ne peut se contenter de ces infos que parce qu'on demande de trouver le plus petit nombre solution, et qu'on espère que ce nombre n'est pas trop grand. À vue de nez, j'ai pas l'impression qu'il y ait de caractérisation simple de ces nombres, donc si tu veux connaître tous les nombres inférieurs à N réversibles dans la multiplication par 9, le programme informatique me semble la solution la plus raisonnable...

[beagle]

si c'est comme indiqué dans le titre :
exercice de 6ème

alors il n' y a probablement pas de solution mathématique,
mais du bidouillage essais erreurs,
si on pose la soustraction
mcdu0
-
0mcdu
=
0udcm

alors m+u=10

par tatonnement on voit vite que m doit ètre super-faiblard car sinon on va se payer des dizaines de mille,
donc on a envie de commencer par:
m=1 et u=9

la suite de la soustraction donne
u-d-1= c
(ou 10+u-d-1=c)
donc on va essayer si u=9,
de faire du c+d=8

pareil faut pas faire trop fort sur le c,
on commence par c=0 d=8

bref ça tatonne un peu, mais on est en sixième...

PS: je viens de voir Skullkid, ça bidouille aussi en section supérieure on dirait ...

[SteeL]

Merci Skullkid et beagle.. Effectivement, c'est ce que j'appelle la réponse logique (à taton, ça marche aussi) :we: La réponse de 6ème me paraît bonne... Mais mais pour quelqu'un en 6ème. Je voulais voir si il y a une manière de résolution un peu plus avancée (pure curiosité mathématique :lol3: )

Déjà en limitant à 4 chiffres, on tombe sur une équation à 4 inconnues... Le fait de savoir qu'il y a une réponse, indique que l'ensemble solution n'est pas nul :hum: Mais bizarrement, je n'ai aucun souvenir de comment chercher les solutions à cette équation, j'ai le vague souvenir que c'est plus facile quand on sait que les solutions sont des entiers relatifs :mur:

Voilà, tout cela pour vous dire que la réponse de 6ème est bonne, mais je n'arrive pas à me résoudre à l'idée qu'il n'y est pas de méthode mathématique "pure". :marteau:

[Skullkid]

Ben le truc c'est qu'en effet, tu n'as qu'une équation pour n inconnues. A priori, quand tu augmentes n (le nombre de chiffres) tu augmentes le nombre de solutions. Le fait que les inconnues sont des entiers entre 0 et 9 réduit significativement le nombre de solutions (qui sans ça devient vite infini), mais ça rend pas forcément l'équation plus facile à résoudre...

Pour ce qui est de la méthode mathématique "pure", comme dit, j'ai pas l'impression qu'il y en ait, mais je peux pas te le certifier. Si ça se trouve il y a des méthodes générales pour trouver tous les points à coordonnées entières d'un hyperplan affine en dimension quelconque (c'est la reformulation du problème la plus pédante que j'aie trouvée).