Puissance facile

[MMu]

Soient les entiers et l'irrationnel tel que .
Montrer qu'il existe une infinité d'entiers tels que (partie entière) est une puissance entière de .

[nodgim]

Déjà, pour tout a > 1, 0 < U < 1, et donc c'est évident que [nU] passe en revue tous les entiers, dont les puissances de b.

[Ben314]

Salut,
Comme l'a fait remarquer Nodgim, si le résultat est complètement évident.

Si on a .
Fixons un et écrivons avec et .
En fait on a forcément sans quoi on aurait .
Il existe donc un (unique) tel que .
On a alors .
Or donc .
Cela montre que, quelque soit , il existe tel que pour un certain entier et on en déduit qu'il existe une infinité d'entiers tels que pour un certain entier ce qui prouve évidement qu'il y a une infinité d'entier tel que pour un certain entier .