Puissance de puissance et chiffre des unités

[Thiéfaine]

Bonjour, je n'arrive pas à résoudre le problème suivant:
Quel est le dernier chiffre de ?

Merci de votre aide

[Thiéfaine]

Je sais déjà que seule l'unité de la base nous intéresse.
Nous avons donc:

Ensuite, les chiffres des unités des puissances de 8 suivent la suite:
= 8,
= 4,
= 2,
= 6,
= 8,
...

Donc, les puissances de 8:
- multiples de 4 finissent par 6 (ex: )
- (multiples de 4 ) + 1 finissent par 8 (ex: )
- (multiples de 4) + 2 finissent par 4 (ex: )
- (multiples de 4) + 3 finissent par 2 (ex: )

Mais j'en reste là..

[lyceen95]

C'est un bon début.
Reste à analyser l'exposant, le
Est ce que nombre peut être impair ?
Est-ce que ce nombre est un multiple de 4, ou bien de la forme 4k+2 ? Est-ce qu'on peut répondre à cette question, sans se lancer dans des calculs sans fin ?

[Thiéfaine]

Il ne peut pas être impair, donc de la forme 4k ou 4k + 2.
Et on sait que termine par 4 et est donc multiple de 4,
vu qu'il est de la forme .
On a alors , qui termine par 6.

Donc, termine par 6.

Il fallait juste que je me pose les bonnes questions..
Merci beaucoup

[lyceen95]

Il y a un argument qui est faux : on sait que termine par 4 et est donc multiple de 4.

Contre exemple : 34 termine par un 4, et ce n'est pas un multiple de 4.

[Thiéfaine]

Si termine par 20k + 4, il est multiple de 4.
On sait qu'il termine par 4, il faut maintenant montrer que le chiffre des dizaines est multiple de 20.

Ou du moins ce serait un moyen, mais je ne vois pas comment faire, aussi simple que cela puisse être..

[Thiéfaine]

Ok, j'ai trouvé..
= 1998 * 1998 * 1998 * ... * 1998 (1998 fois)
Seuls les dizaines et les unités nous intéresse, on a:
98 * 98 * 98 * ... * 98 (1998 fois)

98 * 98 termine par 04.
On peut donc transformer en:
4 * 4 * 4 * ... * 4 (999 fois)
Et on sait qu'une puissance de 4 sera d'office multiple de 4.

N'y aurais t'il pas un moyen plus simple pour répondre à la question ?
Sachant que je dois prendre max 3 min pour y répondre...

Merci

[lyceen95]

Ton dernier raisonnement est un peu long, mais il fonctionne, c'est ok.
Tu gardes les 2 derniers chiffres, je vois très bien l'idée derrière, mais normalement, tu devrais expliquer pourquoi cette idée marche, pourquoi tu t'autorises à remplacer 1998 par 98.

Il y a plus court.

, c'est 1998*1998* n
Je mets une lettre , parce qu'en fait, je ne m'intéresse pas à la suite. Je sais que ce nombre , c'est un nombre entier, et ça me suffit. , c'est , mais peu importe.
1998*1998, c'est le produit de 2 nombres pairs, c'est un multiple de 4.
Et ce multiple de 4, je peux le multiplier par n'importe quel entier , ça restera un multiple de 4.

Donc est un multiple de 4.