Prouver l'inégalité

par **kasmath** » 25 Mai 2009, 15:22

Soient x,y,z trois longueurs des trois cotés dun triongle vérifies x+y+z=1
Montrez que : x²+y²+z² <1/2

EDIT : la politesse n'est pas en option.

par **Zweig** » 25 Mai 2009, 15:41

Salut,

,

et

sont solutions de l'équation suivante, avec

le demi-périmètre,

le rayon du cercle inscrit et

circonscrit :

(je te laisse montrer ça)

D'après les relations de Viète :

(1)

(2)

(3)

D'où

Dans notre cas,

, d'où

Un résultat plus fort (en utilisant (3)) et ma relation montre que c'est la meilleure possible est :

par **kasmath** » 25 Mai 2009, 15:57

merci de votre participation

par **Timothé Lefebvre** » 25 Mai 2009, 17:15

Bonjour,

ça sent le problème déguisé ...

par **lapras** » 25 Mai 2009, 17:54

Franchement je ne pense pas, c'est typiquement une inégalité d'olympiades.

par **Zweig** » 25 Mai 2009, 17:58

x^2 + y^2 + z^2 + 4xyz < 1/2 est un exercice des olympiade russes, donc si ...