Prouver une inégalité

[Matthieu Perrinel]

Ce problème vient de la 35ème session des olympiade des mathématiques (que j'ai trouvé grâce au lien de la signature d'aviateurpilot). Comme je ne réussis pas souvent les exercices des olympiades, j'en profite et je le poste en esperant que personne ne l'ait déjà posté. Vu que je l'ai réussi, ceux qui n'arrivent pas à résoudre les problèmes des olympiades d'habitude ont leur chances :we:

Soient m et n des entiers positifs. Soient des élements distincts de {1,2,...,n} tels que, quand avec i et j tels que , il existe k () tel que

Prouver que:

[BiZi]

on prend a(1)
On a

a(m)+a(1)>n (sinon on il existerait a(k) tel que a(k)>a(m) ce qui est impossible par hypothèse; on raisonnera de la même façon par la suite)

a(m-1)+a(2)>n

a(m-2)+a(3)>n

etc...

si m est impair, on a donc

a(1)+a(2)+...+a(m)>(1/2)*n²

pour m=n, il est facile de montrer que l'inégalité marche.

pour m<=n-1,

comme ((1/2)*n²)/(n-1))>=(n+1)/2, l'inégalité fonctionne.

Pour m pair, on prouve de la même façon l'inégalité.

(désolé de ne pas détailler plus, j'éditerai plus tard là j'ai pas le temps^^)

[aviateurpilot]

contre exemple
on suppose que et m<n+3

[Matthieu Perrinel]

[quote="aviateurpilot"]contre exemple
on suppose que et ma_m[/tex]

On a une contradiction, donc ton contre-exemple n'est pas valide.

[BiZi]

Pour que ton contre-exemple fonctionne, il faut qu'il vérifie les hypothèses de départ. Ainsi, si on prend a(i)=i, et mComme tous les a(i) sont distincts et appartiennent à [0,1,2,...,n], on a nécessairement m<=n. Si jamais m<=n-1, alors a(m)+a(1)=m+1<=n, d'où il existe
k tel que a(k)=m+1, avec a(k)>a(m) ce qui est impossible par hypothèse.

La seule solution pour a(i)=i est donc pour m=n. Dans ce cas, les hypothèses de départ sont effectivement vérifiées.

D'ailleurs, je viens de me rendre compte qu'il y'a un problème dans ton exemple.
Tu dis m

[Matthieu Perrinel]

Tu dis m<n+3, et tu conclus que m+1<n, mais tu ne peux conclure que m+1<n+4! C'est le surmenage ca aviateurpilot :ptdr:

J'avais même pas vu ça ^^, en le lisant, j'avais compris (c'est peut-être d'ailleurs ce qu'aviateurpilot avait voulu dire)

[aviateurpilot]

voila:
on suppose que ;
=>si
et on a donc
donc

[BiZi]

Ca m'a l'air correct=). Et ma solution matthieu elle marche?

[misto]

Bonjour !

Il y a une solution dans le bouquin "Olympiades Internationales de Mathématiques de 1988 à 1997" , Editions du Choix, 1998, page 139. :id:

[Matthieu Perrinel]

->BiZi
Bon, c'est surement moi, mais je trouve ta démonstration un peu rapide ^^.

a(m)+a(1)>n (sinon on il existerait a(k) tel que a(k)>a(m) ce qui est impossible par hypothèse;

Pour l'instant je suis d'accord

on raisonnera de la même façon par la suite)
a(m-1)+a(2)>n
a(m-2)+a(3)>n

Je pense aussi que c'est vrai (j'ai pas réussi à trouver de contre-exemple), mais je trouve ça loin d'être évident.

Enfin, si pour moi le passage est rapide ça ne veut pas dire que c'est faux.

->aviateurpilot
Oula c'est compliqué, j'y reviendrai quand je serai moins fatigué.


Ma solution est beaucoup plus longue sur le papier (je crois qu'elle me fait un recto), mais j'ai fait beaucoup d'étapes. J'essaierai de la poster demain.