Egalité à prouver
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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Mhdi
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par Mhdi » 03 Mai 2008, 23:46
Voici un exercice qui - d'après moi - est très intéressant :
Montrer que pour tout entier p>=3, il existe p nombres entiers
tels que :
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lapras
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par lapras » 04 Mai 2008, 00:07
salut
par récurrence
rang n : vrai
rang n+1 :
soit u un entier > nj pour un indice j <= n
soit k = (u*nj)/(u - nj) > 0 ca u > ni donc k entier naturel
alors
1/nj - 1/k = 1/u
dans la somme des 1/ni
1 <= i <= p,
on remplace l'entier nj par l'entier u
puis on pose
n_(p+1) = k
ainsi
la somme des 1/ni vaudra 1
car le + 1/n_(p+1) va faire que
1/u + 1/n_(p+1) = 1/u + 1/k = 1/nj
on va se retrouver avec notre somme qui, par récurrence, vaut 1.
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kazeriahm
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par kazeriahm » 04 Mai 2008, 20:34
salut
pour que ca soit intéressant il faut les supposer distincts non ?
sinon je prends n_i=p pour tout i dans {1,...,p}
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Mhdi
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par Mhdi » 04 Mai 2008, 23:07
Oui, ils doivent être distincts ;)
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lapras
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par lapras » 04 Mai 2008, 23:51
ok dans ce cas il faut juste choisir judicieusement mon entier u dans ma démo par récurrence ci-dessus.
Il faut u > ni pour tout i tel que
k = (u*nj)/(u - nj) soit un entier naturel > ni pour tout i pour un certain indice j.
On prend j tel que nj = max(ni)
alors
-nj² < 0
=>
-nj² < u*nj - u*nj
=>
nj(u - nj) =>
k = (u*nj)/(u-nj) > nj >= ni pour tout i
déja une condition de remplie
reste que k soit entier.
Et ca c'est évident, même en prenant u tres grand s'il le faut( de telle sorte que u différent de 2*nj sinon u = k...)
donc on aura k différent des a_i, u différent des a_i, par récurrence les a_i sont distincts deux à deux et comme dans ma démo précédente, on aura, si n_(p+1) = k,
somme des ni = 1
par namfoodle sheppen » 05 Mai 2008, 12:10
en fait je me demande s'il ne suffit pas de trouver le cas n=3 pour trouver le cas général : pour n=3 p1=2, p2=3, p3=6 convient; supposons maintenant le cas n réglé avec 1/p1+...+1/pn=1 : on remplace chaque pi par 2*pi (on aura alors 1/p1+...+1/pn=1/2) et on prend p(n+1)=2 (il n'est pas déjà pris).
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lapras
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par lapras » 05 Mai 2008, 17:57
Oui apperement c'est aussi une possibilité de démonstration par récurrence ! :happy2:
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lapras
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par lapras » 05 Mai 2008, 22:17
Mhdi > Confirmes tu nos deux démonstrations ?
Quelle est la tienne ?
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Mhdi
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par Mhdi » 05 Mai 2008, 23:42
J'ai aussi utilisé la réccurence :
Pour n=3, c'est trivial. On suppose que c'est juste pour n.
Il faut donc montrer que c'est juste pour n+1 il faut montrer que
On sait que
=>On conclut.
Belle solution namfoodle sheppen !!
lapras>> Je pense que t'as fait trop compliqué, non? ou c'est juste la mise en forme qui donne l'impression?
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lapras
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par lapras » 05 Mai 2008, 23:47
Pour ma solution non en fait j'ai juste pas réfléchi beaucoup (5 min) pour choisir bien l'entier dans le pas de récurrence mais la transformation de namfoodle sheppen est beaucoup plus simple que la mienne.
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