Probas - modélisation du cumul d'un "avantage"

[Celion]

EDIT : RESOLU


Bonjour(soir) à tous !

C'est mon premier message sur ce forum. J'ai lu les guides d'utilisation, mais je ne suis toujours pas sûr d'être au bon endroit. Ma question concerne un problème que je me suis posé tout seul en jouant à un jeu vidéo, je n'ai aucune idée du "niveau" auquel il correspond, sinon qu'il doit être au-delà de la portée du programme de collège. De plus, n'étant moi-même pas mathématicien, ma méthodologie et ma compréhension des sujets sont très discutable.
Si d'aventure je suis au mauvais endroit, ou si j'enfreins une règle qui m'aurait échappé, je vous présente mes excuses à l'avance. Si pas, j'espère pouvoir exprimer correctement mon problème.

Le voici.
Dans un jeu vidéo, je suis tombé sur un point de talent disant en gros : "à chaque fois qu'une attaque n'est pas un coup critique, <le talent> ajoute 2% à vos chances de coup critique. Le talent est cumulable. Si une attaque est un coup critique, le bonus revient à zéro."
Donc si j'ai bien compris, avec un pourcentage de coup critique de départ disons , le premier coup a de chances d'être un coup critique. Si il l'est, le deuxième coup a aussi , sinon il a , etc... J'ai voulu déterminer le pourcentage effectif de coups critiques en fonction du pourcentage brut avant le talent (pourcentage de départ). Ou alors .

Sachant qu'on ne peut clairement exprimer un problème qu'autant qu'on le comprend, je vous prie de m'excuser pour la confusion ci-dessus. Pour ceux d'entre-vous qui ont eu la patience d'arriver jusqu'ici, je vais essayer d'expliquer ce que j'ai fait jusque-là.

Dans un premier temps je me suis arraché beaucoup de cheveux.
Ensuite, j'ai à grand peine pu déterminer (je crois, j'espère) (que j'écrirai à partir d'ici) étant la probabilité que le n-ième coup soit un coup critique (avec la probabilité de départ) :

Au point où j'en suis, j'ai même oublié pourquoi je croyais avoir besoin de ça, mais ça me semblait sûrement très pertinent plus tôt dans la journée.
Donc j'ai triché, j'ai écrit un petit programme qui fait un million de tirages en respectant les consignes pour avoir des chiffres qui m'aideraient peut-être à avoir une intuition. C'est fait, je sais que la formule finale a une forme logarithmique. Logique que le talent soit plus efficace quand le pourcentage de base est faible et que son impact soit de moins en moins grand.

Maintenant la vérité c'est que je n'ai aucune idée de comment attaquer ce problème, ou progresser si mes laborieuses reptations ont un sens. J'ai même essayer de chercher sur wikipédia, sur Internet en général, je n'ai aucune idée des termes mathématiques derrière cette idée, d'où le titre flou.
Il me semble avoir compris que personne n'allait me donner une formule toute propre dans les conditions d'utilisation, tant mieux ! Je cherche cette formule certes, mais surtout le moyen d'y arriver, les termes ou domaines des maths qui y touchent, éventuellement comment la trouver tout seul comme un grand.

Je crois avoir été aussi clair que j'en suis capable. Si il manque des informations, je me ferais un plaisir d'affiner les explications ou de répondre aux questions.
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me lire, et éventuellement de me répondre.

[Skullkid]

Bonsoir,

En ce qui concerne les termes mathématiques à rechercher pour que tu puisses avancer, ton problème revient à l'étude ce qui s'appelle une chaîne de Markov. En gros, les chaînes de Markov modélisent un processus qui peut avoir plusieurs états et qui passe d'un état à un autre de façon probabiliste. Dans ton cas, tu peux appeler tes états où correspond à "n attaques depuis le dernier coup critique". Partant de , la chaîne passe dans l'état avec une probabilité et dans l'état avec une probabilité (note qu'il y a un état "maximal" quand la probabilité de coup critique atteint 1, auquel cas l'état suivant sera avec probabilité 1).

Je ne me suis pas penché sur ton problème en particulier, mais la réponse à ta question va forcément passer par la recherche de la loi de probabilité limite de ta chaîne. Ici comme il y a potentiellement beaucoup d'états, ça pourrait s'avérer pénible. Dans tous les cas c'est bien d'avoir déjà pris l'initiative de regarder ce qui se passe avec une simulation.

[Celion]

Bonjour, merci pour cette réponse. Après avoir survolé le wikipédia il me semble en effet que c'est exactement l'outil qu'il me fallait. Reste à savoir si j'arriverai à l'apprivoiser. Si elle se révèle trop fastidieuse pour ma patience, je ferai l'exercice pour K = 0.90 ou même 0.98. J'ai pas besoin de trouver LA valeur précise qu'il me faut puisque la simulation peut le faire, j'aimerais juste comprendre l'abord d'un problème de ce genre.

Le pire, c'est que je suis sûr d'avoir déjà entendu parler des chaînes de Markov. C'était malheureusement sorti de ma mémoire.

EDIT : J'ai ramé une partie de l'après-midi mais j'ai finalement réussi.
Il faut dessiner le graphe de Markov, en déduire une matrice. S'ensuit un tas de magouilles avec du calcul matriciel qui peut effectivement devenir laborieux (pour mon problème, il peut y avoir jusqu'à 50 équations pour K = 0, donc une matrice 50x50). J'ai simplifié en prenant K = 0.96, comme ça j'ai une matrice de 3x3, mais la méthode est la même.
On arrive à des probabilités d'être dans les états et . Sachant que ces états correspondent respectivement à 0.96, 0.98 et 1, il ne reste qu'à pondérer pour avoir le résultat final.
Dans le cas de K = 0.96, je trouve .
Le résultat est logique, je l'ai croisé avec ce que disait ma simulation, tout le monde tombe d'accord. C'est donc réglé pour ma part.

Merci Skullkid, j'ai maintenant un outil de plus dans mon carquois mathématique. Et il me reste encore une quantité acceptable de cheveux. Double victoire !