Probleme de probas

[Mario2015]

Salut,

On a des escaliers ou chaque marche est numerotee de -n a +n (-n,-n+1,-n+2,...-2,-1,0,1,2,3,4,5,...n-1,n).
Le parametre n peut prendre n`importe quelle valeur. Il n`est pas predefini.
2 personnes A et B partent de la marche 0.
On lance une seule piece marquee 0 d`un cote et 1 de l`autre.
Donc 2 possibilites 0 ou 1.
Les personnes A et B agissent de maniere suivante en fonction du resultat du lancer.
Le meme lancer vaut pour les 2 personnes.

Actions de A :

Si le lancer donne 0 alors A ne reagit pas et reste a sa place.
Si le lancer donne 1 alors A attend le prochain lancer.
Si au lancer suivant le 0 est affiche A descend d`une marche (-1)
Si au contraire le 1 s`affiche A monte d`une marche (+1)

Actions de B :

Si le lancer donne 1 alors B ne reagit pas et reste a sa place.
Si le lancer donne 0 alors B attend le prochain lancer.
Si au lancer suivant le 1 est affiche B descend d`une marche (-1)
Si au contraire le 0 s`affiche B monte d`une marche (+1)

On lance repetitivement la piece et les personnes A et B montent ou descendent les marches en fonction des resultats.

On definit une variable aleatoire X egale au nombre de lancers necessaires pour que l`une des personnes atteigne ou depasse le niveau k et que l`autre personne soit au moins au niveau 1.
J`entends par niveau le numero de la marche. Donc si k est egale a 5, la personne devrait etre sur la 5eme marche.

Une fois que ces conditions sont realisees (une personne sur les marches 5 et plus et l`autre au moins au niveau), on enregistre le nombre de lancers atteint et les personnes redemarrent de nouveau a la marche 0.

Quelle est l`esperance de la variable aleatoire X en fonction d`un k donne?


Merci pour tout eclairage.

[Ben314]

Salut,
Il y a une (légère) ambiguïté dans l'énoncé : si par exemple on a le tirage 1,1,1,1 (et c'est tout) est-ce que A monte de deux marches ou bien de 3 marches ?
Je pencherais pour 2 marches, mais c'est pas complètement clair.

Evidement, idem pour B s'il y a des tas de 0 consécutifs.

Sinon, je pense que ça se modélise assez simplement avec une "matrice de transition" (je me rappelle plus du nom technique que ça a le bidule en question) mais il faudrait la répons à la question ci dessus pour savoir combien d'états on met dans le bidule.

P.S. Autre question : la pièce 0/1 elle set "équilibrée" (=équiprobable) ou pas ?

[Ben314]

Salut,
Il y a une (légère) ambiguïté dans l'énoncé : si par exemple on a le tirage 1,1,1,1 (et c'est tout) est-ce que A monte de deux marches ou bien de 3 marches ?
Je pencherais pour 2 marches, mais c'est pas complètement clair.

Evidement, idem pour B s'il y a des tas de 0 consécutifs.

Sinon, je pense que ça se modélise assez simplement avec une "matrice de transition" (je me rappelle plus du nom technique que ça a le bidule en question) mais il faudrait la répons à la question ci dessus pour savoir combien d'états on met dans le bidule.

P.S. Autre question : la pièce 0/1 elle est "équilibrée" (=équiprobable) ou pas ?

[Mario2015]

Salut,
Il y a une (légère) ambiguïté dans l'énoncé : si par exemple on a le tirage 1,1,1,1 (et c'est tout) est-ce que A monte de deux marches ou bien de 3 marches ?
Je pencherais pour 2 marches, mais c'est pas complètement clair.

Evidement, idem pour B s'il y a des tas de 0 consécutifs.

Sinon, je pense que ça se modélise assez simplement avec une "matrice de transition" (je me rappelle plus du nom technique que ça a le bidule en question) mais il faudrait la répons à la question ci dessus pour savoir combien d'états on met dans le bidule.

P.S. Autre question : la pièce 0/1 elle est "équilibrée" (=équiprobable) ou pas ?

Monte de 2 marches.
Le 1 sort il se met en mode attente.
Si le 1 ressort il monte d`une marche.
Au 3eme lancer le 1 ressort il se rem,et en mode attente et si au 4eme lancer le 1 ressort il remonte d`une marche.
Pour B idem la sequence des zeros 0000
Le probleme n`est pas simple.

[Mario2015]

Des resultats precis pour k=5 et k=10 seraient interessants.

[Ben314]

Et les proba de la pièce, c'est 1/2 , 1/2 ?

[Mario2015]

Et les proba de la pièce, c'est 1/2 , 1/2 ?

Oui.
La piece est equilibree.

[Ben314]

Je viens de regarder les 25 premières étapes (avec un tableur) : le fait que le processus soit "avec mémoire" (i.e. que dans 1111 les quatre 1 ne jouent pas le même rôle) fout vraiment la m... dans les tableaux de proba.

Donc a froid, je suis pas capable de dire quoi que ce soit.
Avec l'histoire des suites de 1 où il faut regarder la parité pour savoir ce qu'il s'est passé, c'est déjà passablement compliqué de dénombrer les "cas favorables" parmi les suites de n 0/1...

[Mario2015]

Je viens de regarder les 25 premières étapes (avec un tableur) : le fait que le processus soit "avec mémoire" (i.e. que dans 1111 les quatre 1 ne jouent pas le même rôle) fout vraiment la m... dans les tableaux de proba.

Donc a froid, je suis pas capable de dire quoi que ce soit.
Avec l'histoire des suites de 1 où il faut regarder la parité pour savoir ce qu'il s'est passé, c'est déjà passablement compliqué de dénombrer les "cas favorables" parmi les suites de n 0/1...

Sur Excel c`est difficile et il faut le faire en 2 etapes :
1. On denombre les 1 consecutifs et les 1 isoles
Exemple 111010
la chaine a 3 uns consecutifs et un 1 isole.
2. On calcule leur valeur : recul ou avance. 111010 vaut (-1) recul d`une marche. 3 uns valent zero et 10 vaut -1.

De meme pour la personne B (on compte les zeros)
On utilise un increment.
Je t`ai donne le principe :
4 uns consecutifs =+2
5 uns consecutifs = +1
6 uns consecutifs = +3
etc...

[Ben314]

Sous Open Office, c'est pas du tout une simu. que j'ai fait donc ça n'utilise pas les suites de 0/1 générés (j'ai bien précisé que j'avais regardé que 25 étapes).
J'ai bêtement fait calculer les matrices de proba correspondant au 25 premières étapes pour voir si les valeurs numériques semblait plus ou moins calculables (3 matrice 25x25 par étapes vu qu'il y a 3 "états" différents dans ton automate)

[Mario2015]

Notons la position de la personne A P(A) et de la personne B P(B).
P(X) etant la position sur le niveau des escaliers.
P(X)=10 veut dire que la personne X a atteint la marche +10
P(X)=-5 veut dire que la personne X a recule de 5 marches par rapport a la position de depart 0.

Mes questions :
P(A) est-il dependant de P(B) oui ou non?
Dans les 2 cas, pourquoi?
Quelle est la probabilite pour que P(A)+P(B) soit > a zero?

Merci pour toute reflexion.

[Ben314]

Je ne comprend pas bien ton symbolisme :
- Déjà, je préfère garder la notation "p(?)" pour désigner le proba d'un évènement donné.
- Je comprend pas vraiment ce que peut signifier la v.a.r. "position de la personne X sur le niveau des escaliers" sans qu'il n'y ait dans la dénomination de référence au nombre d'étapes.

Si la question que tu pose concerne l'indépendance des v.a.r. Xn et Yn correspondant à la position sur l'escalier de A et de B après n étapes, il me semble clair qu'elles ne sont pas du tout indépendantes vu que chacune des deux prend ces valeurs dans [[-n/2,n/2]] (avec des proba non nulles) alors que les évènements (X=a et Y=b) ont une proba nulle dés que a+b>n/2.

[Mario2015]

Je ne comprend pas bien ton symbolisme :
- Déjà, je préfère garder la notation "p(?)" pour désigner le proba d'un évènement donné.
- Je comprend pas vraiment ce que peut signifier la v.a.r. "position de la personne X sur le niveau des escaliers" sans qu'il n'y ait dans la dénomination de référence au nombre d'étapes.

Si la question que tu pose concerne l'indépendance des v.a.r. Xn et Yn correspondant à la position sur l'escalier de A et de B après n étapes, il me semble clair qu'elles ne sont pas du tout indépendantes vu que chacune des deux prend ces valeurs dans [[-n/2,n/2]] (avec des proba non nulles) alors que les évènements (X=a et Y=b) ont une proba nulle dés que a+b>n/2.

Il aurait ete plus judicieux de noter Pos(A) = position de A plutot que P(A) qui cree la confusion sauf que j`ai precise la notation.
Cela n`est pas grave je pense.
Globalement comme les 2 personnes gravissent ou devalent les escaliers en fonction du lancer une sequence infinie 10101010101010.... feraient reculer les 2, une sequence 1111111111111111111 ferait gravir A et B serait sur la meme marche vu qu`il ne fait rien, une sequence 0000000000000000 produirait l`effet inverse B monterait et A sur la meme marche.
Comme le lancer est aleatoire, il en resulterait une totale independance de mouvements. Un peu comme si on avait 2 tirages independants.
Ma comjecture (elle peut etre fausse) est que les 2 personnes graviront ou depasseront une constante k si l`on repete indefiniment les lancers.

[Ben314]

Concernant l'indépendance, je suis catégorique : il n'y a pas indépendance des v.a.r. An et Bn (voire la preuve dans le post çi dessus) et ceci pour tout n (autre que 0 et 1).
Quand au fait que, pour k fixé, presque surement, il existe un n tel que An>k et Bn>k, ça me semble effectivement extrêmement plausible et sans doute démontrable, mais de là à en déduire que l'espérance (du plus petit tel n) est finie, il y a déjà un certain pas à franchir et quand au fait d'espérer calculer cette espérance (si elle est finie...), je t'avoue que j'y crois pas trop.

[Mario2015]

Concernant l'indépendance, je suis catégorique : il n'y a pas indépendance des v.a.r. An et Bn (voire la preuve dans le post çi dessus) et ceci pour tout n (autre que 0 et 1).
Quand au fait que, pour k fixé, presque surement, il existe un n tel que An>k et Bn>k, ça me semble effectivement extrêmement plausible et sans doute démontrable, mais de là à en déduire que l'espérance (du plus petit tel n) est finie, il y a déjà un certain pas à franchir et quand au fait d'espérer calculer cette espérance (si elle est finie...), je t'avoue que j'y crois pas trop.

Il me semble qu`il y a une confusion quelque part.

n represente la plage des marches.
Si on fait 10 lancers n serait compris entre -5 et +5
-5 correspond aux lancers 1010101010 ou les 2 personnes reculent de 5 marches
+5 correspond a l`une des 2 sequences 0000000000 ou 1111111111 ou l`une des 2 personnes a atteint la marche.
Tu parles de n et je ne comprends pas de quoi tu parles.

Notons le nombre "l" pour que ce soit plus clair.
Quand l devient tres grand on peut calculer la probabilite que les 2 personnes A et B atteignent ou depassent toutes les 2 la marche k (exemple k=100).
Bien sur que l`on peut determiner le nombre "l" (nombre de lancers) necessaire pour depasser avec une probabilite definie (95%) cette borne.
Es-tu d`accord jusque la?

[Mario2015]

Il y a independance TOTALE des positions de A et B sur les escaliers :
- les 2 peuvent reculer ou avancer ensemble
- l`un des 2 peut avancer et l`autre reculer (et vice versa)

Tout dependra de la succession des lancers.
Il suffit de prendre 10 lancers et faire une ananylse exhaustive (2^10) pour le comprendre

[Mario2015]

n varie donc entre +l/2 et -l/2 (l etant le nombre de lancers)

[Ben314]

Notons le nombre "l" pour que ce soit plus clair.

Comme tu veut, sauf que la lettre l en mode texte, c'est chiant vu que ça fait juste une barre (12I2 ???) et que d'un autre coté, la lettre n, de la garder pour le soit disant "le nombre de marches", c'est totalement inutile : si j'ai bien compris, il n'y a pas de "butée" faisant qu'on ne peut plus gravir une marche de plus (ou une marche de moins) à un moment donné et ça, ca signifie bêtement que tu considère le nombre de marche est indexé par Z => la "borne" n ne sert à rien.

Quand l devient très grand on peut calculer la probabilité que les 2 personnes A et B atteignent ou depassent toutes les 2 la marche k (exemple k=100).
Bien sur que l`on peut determiner le nombre "l" (nombre de lancers) nécessaire pour dépasser avec une probabilité definie (95%) cette borne.
Es-tu d`accord jusque la?

Moyennement d'accord : qu'on puisse par des procédés numérique (donc des approximations) évaluer la proba qu'en un certain nombre d'étapes l fixé d'avance A et B soit au dessus de 100, c'est éventuellement jouable (encore qu'avec n=100, il va falloir que le bidule à qui on confie les calculs ait une sacré précision si on veut une quelconque fiabilité sur le résultat...)
Mais, perso., c'est pas vraiment ça que j'appellerais "calculer la proba" et je suis pas certain du tout qu'on arrive avec du numérique à estimer le nombre de lancer nécessaires pour avoir 95% de chance que A ou B ait, au moins une fois, tout les deux dépassés la barre des 100 marches.

[Ben314]

Il y a independance TOTALE des positions de A et B sur les escaliers :
- les 2 peuvent reculer ou avancer ensemble
- l`un des 2 peut avancer et l`autre reculer (et vice versa)

Certes, certes, mais ça n'a rien à voir avec la notion d'indépendance.
RAPPEL : Deux v.a.r. X et Y sont dites indépendantes lorsque, quel que soit les parties A et B de R, on a
et ici, ce n'est clairement pas le cas vu que, si Xl est trés proche de l/2, ça force à Yl à être proche de 0.

[Ben314]

Il y a independance TOTALE des positions de A et B sur les escaliers :
- les 2 peuvent reculer ou avancer ensemble
- l`un des 2 peut avancer et l`autre reculer (et vice versa)

Certes, certes, mais ça n'a rien à voir avec la notion d'indépendance.
RAPPEL : Deux v.a.r. X et Y sont dites indépendantes lorsque, quel que soit les parties A et B de R, on a
et ici, ce n'est clairement pas le cas vu que, si Xl est trés proche de l/2, ça force à Yl à être proche de 0.