Je suis médecin et me suis récemment plongé dans une publication proposant une méthode de repérage en regard du scalp d’une location du cerveau sans recours à l’imagerie cérébrale, en se basant sur quelques valeurs mesurables simples (ce qui en pratique clinique permet de gagner du temps et d’économiser beaucoup d’argent…).
En tentant de reproduire l’outil proposé dans le document, j’ai bloqué sur plusieurs éléments (exposés plus bas).
Par ailleurs, en utilisant l’équation fournie par les auteurs et les mêmes valeurs mesurées dans leur outils et celui que j'ai répliqué, je n’obtiens pas les mêmes résultats. Mes cours de mathématiques étant loin derrière moi, je sollicite votre regard sur la question et vos conseils, afin de trouver ma probable erreur.
NB : les mathématiques requises sont en soit relativement simples, principalement de la trigonométrie et de la détermination d’équation de courbe…
L’esprit de la méthode :
Même si éloignée des maths en soi, je pense qu’une introduction à la problématique est nécessaire.
Pour localiser sur le scalp une zone précise du cerveau, nous avons schématiquement 2 méthodes :
- La neuro-imagerie : IRM ou scanner, permettant de localiser précisément et facilement la zone concernée. Elle coute très cher et est très peu accessible par manque de moyens matériels et humains.
- La méthode 10-20 : cette méthode repose sur 3 mesures physiques simples et une détermination par pourcentages de la position de multiples points clefs à partir de ces mesures de bases. Celle-ci est donc très peu coûteuse, fourni une approximation tout à fait correcte, mais est longue, avec de nombreuses étapes et donc un fort risque d’erreur lorsque le praticien n’est pas formé.
Cette méthode (10-20) est plus explicite avec l’image qui la représente :
Figure 1
On mesure donc la distance « pré-auriculaire » (souvent appelée Tragus-Tragus même si c'est anatomiquement incorrect), « Nasion-Inion » (de la dépression entre les 2 yeux au sommet du nez à la bosse « des maths » à l’arrière du crâne). Le croisement en leur milieu de ces 2 lignes correspond au vertex (sommet du crâne, Cz).
Puis, à partir des 5 points connus (tragus x2, nasion, inion, vertex), on peut déterminer l’ensemble des points par applications successives de saut de 10 ou 20%.
Figure 2
Le point que nous recherchons est F3. La 10-20 lui donne 2 positions possibles (proches mais non réellement superposables contrairement à ce qui apparait sur les schémas) : soit à 25% de F7 vers Fz sur la courbe F7-Fz-F8, soit à 25% de Fp1 vers C3 sur la courbe passant par Fp1-C3-O1.
La nouvelle méthode proposée par les chercheurs est basée sur la 10-20 mais en simplifie grandement l’utilisation tout en raccourcissant le temps nécessaire à son application.
Elle permet, après mesure des distance Tragus-Tragus, Nasion-Inion, circonférence, de calculer 2 grandeurs : x, la distance depuis Fpz vers F7 définissant un point que l’on peut nommer M ; et y, la distance entre le vertex (Cz) et le point recherché (F3) sur la droite Cz-M. Autrement dit, cette nouvelle méthode exprime F3 en coordonnées polaires puis à partir de l’angle thêta, livre la longueur de l’arc de cercle correspondant (x).
Il n’y a donc plus qu’à mesurer x et y sur le patient pour trouver F3.
Figure 3
Cette méthode a été comparée à la neuro-imagerie et donne des résultats satisfaisant. Pourtant, elle me semble incorrecte et pourrait à mon sens être corrigée/améliorée (cf.infra).
Calculs derrière la méthode :
Les auteurs commencent par définir un plan, basé sur la 10-20, qu’ils orientent différemment cependant (ne me demandez pas pourquoi…). L’origine du repère est placée au niveau de Cz avec l’ordonnée définie et orientée selon Cz -> Oz et l’abscisse définie et orientée selon Cz -> T3.
Figure 4
Ils définissent ensuite 2 grandeurs, probablement celles qui me posent problème plus loin :
- R1 = Cz-Fpz
- R2 = Cz-T3
Ensuite, ils déterminent les coordonnées des 4 points d’intérêt suivant : C3, Fz, Fp1, F7. Ceci afin de déterminer l’équation des droites Fp1-C3 et F7-Fz dont l’intersection correspond, à peu de chose près à notre point F3.
Là se trouve ma première incompréension. Autant je comprends ce qu’écrivent les auteurs pour les 2 premiers points (coordonnées polaires puis cartésiennes) :
- C3 = (R2/2 ; 0°) soit (R2/2 ; 0)
- Fz = (R1/2 ; 270°) soit (0 ; - (R1/2))
Autant je ne comprends pas les 2 suivants (ci-dessous ce qui apparaît dans l’article) :
- Fp1 = (R1/2 ; 288°) soit (R1/2*cos(288) ; R1/2*sin(288))
- F7 = (R2/2 ; 324°) soit (R2/2*cos(324) ; R2/2*sin(324))
Je ne comprends pas cette division par 2 des rayons R1/R2. Pour moi, les coordonnées devraient être les suivantes :
- Fp1 = (R1 ; 288°) soit (R1*cos(288) ; R1*sin(288))
- F7 = (R2 ; 324°) soit (R2*cos(324) ; R2*sin(324))
Et encore, cela ne fonctionne qu’en considérant la tête comme une sphère, ou du moins en considérant Fp1 est suffisamment proche de FpZ pour considérer que le rayon n’a pas varié et reste égale à R1, et de la même façon que F7 est suffisamment proche de T3 pour que le rayon en F3 soit égal à R2 (cette approximation étant acceptable cliniquement).
Je reprends le raisonnement des auteurs avec leurs coordonnées :
Ils déterminent la droite passant par Fz et F7 comme suit :
Et l’équation de la droite passant par Fp1 et C3 comme ceci :
Puis pour trouver F3, il « suffit » d’égaliser les 2 équations et résoudre X. Une fois X trouvé, il suffit de résoudre Y dans n’importe laquelle des 2 équations avec la valeur de X trouvé précédemment. On obtient alors x et y, soient les coordonnées cartésiennes de F3 dans le plan.
Que l’on rebascule ensuite en coordonnées polaires :
Au final, F3 = (r, thêta).
Avec ceci, r est égale à la valeur « y » de la figure 3 (après correction cf. infra). Il ne reste qu’à déterminer x de la figure 3 soit la valeur de l’arc correspondant à l’angle complémentaire de thêta, que l'on nomme P.
Si on continue de considérer la tête comme une sphère, alors :
c/360 = x/P soit x = c P /360
Nous avons donc nos x et y.
Les auteurs appliquent cependant une dernière correction. La tête n’est en effet ni une sphère, ni un disque plan. Ce qui implique qu’une distance mesurée sur le scalp est théoriquement plus longue que sa projection dans le plan.
Toutes nos mesures ont été faites sur une « sphère », et traitées comme telles (du vertex au nasion, à l’inion, au tragus…). Cependant, quand on regarde la distance vertex – F3 et la surface qui la contient sur un patient, on est bien plus proche d’un plan que d’une sphère pour cette portion.
Figure 5
A l’instar de la figure ci-dessus, il est possible de calculer le facteur différenciant le segment ab et l’arc de cercle ab. Avec l = rayon du cercle :
- Segment ab = r(2)^(1/2)
- Arc ab = ¼*2πr = ½ πr
Reste à trouver le facteur k les différenciant :
r(2)^(1/2) = k* ½ πr soit k = (2*2^1/2)/ π = 0.900
Il est donc nécessaire de multiplier y par 0.9 pour corriger le modèle.
Discussion, tests, erreurs…
En résumé, que pensez-vous des coordonnées de Fp1 et F7, dont dépendent toute la suite ?
Et surtout, je suis perplexe quant à la façon dont les auteurs calculent R1/R2. En effet, lorsque j’utilise leur outil en ligne, je trouve des valeurs différentes de celle que j’obtiens avec leur formule. A mon sens, la différence ne peut provenir que de la façon dont on calcule R1 et R2.
Prenons l’ensemble des valeurs suivantes :
- Tragus to tragus = 36
- Nasion to Inion = 38
- Circonférence = 58
Avec leur outil en ligne, je trouve les valeurs suivantes :
- X = 6.72 cm
- Y = 9.79 cm
Rien n’indique dans leur outil comment est calculé R1/R2 à partir des longueurs mesurées.
Dans mon algorithme, j’ai tenté les méthodes suivantes, sans jamais tomber sur le même résultat (je ne mets l’exemple que pour R2 mais la méthode est la même pour R1) :
- R2 = (Tragus-to-Tragus) / 2
Ce qui est pour moi incorrect car la circonférence passe par FpZ et Oz qui sont à 10% des tragus) ; par ailleurs cela revient à projeter la longueur mesurée directement sur le plan sans correction
- R2 = 0.8* ((Tragus-to-Tragus) / 2)
Ce qui prend en compte les 10% (rapporté à 20% puisqu’on utilise la moitié de la longueur totale. Cependant ceci reste une projection directe de la longueur mesurée sur le plan.
- R2 = (Tragus-to-Tragus) / π
Cette fois-ci, on utilise bel et bien la longueur de la projection de la moitié de Nasion-to-Inion dans le plan, mais sans prendre en compte les 10%.
R2 = ((Tragus-to-Tragus) / π)*cos(18)
La longueur exacte de R1 comme projection de la moitié de Tragus-to-Tragus - 10%
Figure 6
Pour arriver à cette dernière formule, j’ai procédé comme suit :
Je calcule d’abord L, l’arc correspondant à 10% de la longueur totale concernée (ici Tragus-to-Tragus).
L = 0.1(Tragus-to-Tragus)
Donc je peux trouver α :
α / 360 = L / 2(Tragus-to-Tragus) = 0.1(Tragus-to-Tragus) / 2(Tragus-to-Tragus) = 0.1/2 = 0.05
Donc α = 360*0.05 = 18°
A partir de là, je peux trouver R2 :
R2 = ((Tragus-to-Tragus) / π)*cos(18)
Mais quoi qu’il en soit, je ne tombe jamais sur les valeurs des auteurs...
Par ailleurs la simple correction appliquée par les auteur sur le résultat final suffit-elle à corriger les multiples approximations auxquelles il ont recourt avant ?
Y aurait-il une façon plus précise de faire ?
N'ayant pas fait de maths depuis une bonne 10aine d'année, je coince un brin
.
).