Polynômes cyclotomiques pas très irréductibles

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Archytas
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Polynômes cyclotomiques pas très irréductibles

par Archytas » 14 Juin 2017, 13:01

Salut, petit défi sympa:
Soit un entier naturel. Soit un corps fini avec dans lequel est non nul. Montrer que le n-ème polynôme cyclotomique est irréductible dans si et seulement si la classe de engendre le groupe multiplicatif .
En déduire que et sont réductibles sur tout corps fini ::d



Archytas
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Re: Polynômes cyclotomiques pas très irréductibles

par Archytas » 16 Juin 2017, 00:10

Petits indices :
(1) Si est une racine primitive n ème (notées ) alors agit simplement transitivement sur autrement dit pour tout couple .
(2) Lorsqu'un corps possède une racine primitive n ème, il les possède donc toutes et ce sont exactement les racines de avec (n non nul dans L).
(3) Pour scindé simple dans une extension de . Si pour tout couple de racine il existe (automorphisme de L laissant les éléments de K invariants i.e. ) tel que alors irréductible dans .

Normalement avec ça, ça devrait être plus facile ! Je mettrai le lien de l'article dans quelques jours.

 

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