Petits problèmes

[skycop]

Bonjour à tous et à toutes
Voilà j'ai un petit problème à vous communiquez

Teddy Strait a laissé le code à 9 chiffres de son coffre-fort à l’intérieur du coffre-fort !

Heureusement, il se souvient que ce code ne contient pas de zéro, que les chiffres sont tous différents et, qu’à partir de la gauche

le nombre formé par le premier et le deuxième chiffre est un multiple de 2 ;
le nombre formé par le deuxième et le troisième chiffre est un multiple de 3 ;
le nombre formé par le troisième et le quatrième chiffre est un multiple de 4 ;
et ainsi de suite jusqu’au nombre formé par le huitième et le neuvième chiffre qui est un multiple de 9.
Avec ces renseignements, il trouve deux possibilités. Quelles sont-elles ?

Ma nièce m'a collé ce problème, sauf que j'ai de vague souvenir des maths :$ lol
Si vous pouviez m'aider svp
Merci d'avance

PS : Si possible avec une démarche lol pour la compréhension

[ffpower]

Déja, du fait qu'un multiple de 2,4,6 ou 8 est pair, et que le chiffre des unités d'un nombre pair est pair, on en déduit que à tout emplacement pair, ya un chiffre pair. Par suite, a tout emplacement impair, ya un chiffre impair..

D'autre part, en utilisant qu'un multiple de 5 finit par 0 ou 5 et qu'il n'y a pas de 0 ici, le 5-eme chiffre est donc 5

Les chiffres d'apres s'en déduisent facilement:
Le 6-ieme chiffre est 4 car 54 est le seul multiple de 6 commencant par 5
Pour le 7-ieme chiffre, il y a 2 multiples de 7 commencant par 4, 42 et 49, donc le 7-ieme chiffre est 2 ou 9, mais vu qu'il est impair, c'est 9
Le 8-ieme chiffre vaut 6
Le 9-ieme chiffre vaut 3

Pour les 4 premiers emplacement, il reste 1,2,7 et 8
le 4-ieme chiffre est 2 ou 8. On vérifie que ca ne peut etre 8 car le 3 ieme chiffre est 1 ou 7 et ni 18 ni 78 ne sont multiple de 4
Donc le 4-ieme chiffre est 2, et par suite le 2eme chiffre est 8
Pour les 1ers et 3eme chiffres, les 2 possibilités restantes fonctionnent.

On a donc les solutions :
-187254963
-781254963

[skycop]

Merci bien ffpower pour cette réponse rapide ;)
bonne soirée à toi

[Esope]

Merci pour votre réponse et votre solution fort bien exposée à ce petit problème, dont je me demande à quels élèves, de quel niveau, il s'adresse. Pouvez-vous répondre à cette question ? Ma petite fille, de 11 ans, en classe 7 P à Genève (CM 2), a eu ce problème et j'ai bien eu l'impression qu'il était complètement au-dessus de ses forces... Ces problèmes sont repiqués du site Enseignons.be et j'en ignore complètement la source... Elle a aussi à résoudre ce supplément au coffre-fort de Teddy :

1. Dans le coffre de Teddy Strait, il y a un petit coffre pour lequel malheureusement Teddy ne se rappelle plus du code. Heureusement, il se souvient que le code ne contient pas de zéro, que les chiffres sont tous différents, et qu’à partir de la gauche :
- Le nombre formé par les deux premiers chiffres est un multiple de 2.
- Le nombre formé par les trois premiers chiffres est un multiple de 3.
- Le nombre formé par les quatre premiers chiffres est un multiple de 4.
- Et ainsi de suite… Jusqu’au nombre formé par les neuf premiers chiffres qui est un multiple de 9.
Quel est le code du petit coffre de Teddy Strait ?

Vous pourriez m'aider à le résoudre. Merci ! Esope faubin@esope.ch

Déja, du fait qu'un multiple de 2,4,6 ou 8 est pair, et que le chiffre des unités d'un nombre pair est pair, on en déduit que à tout emplacement pair, ya un chiffre pair. Par suite, a tout emplacement impair, ya un chiffre impair..

D'autre part, en utilisant qu'un multiple de 5 finit par 0 ou 5 et qu'il n'y a pas de 0 ici, le 5-eme chiffre est donc 5

Les chiffres d'apres s'en déduisent facilement:
Le 6-ieme chiffre est 4 car 54 est le seul multiple de 6 commencant par 5
Pour le 7-ieme chiffre, il y a 2 multiples de 7 commencant par 4, 42 et 49, donc le 7-ieme chiffre est 2 ou 9, mais vu qu'il est impair, c'est 9
Le 8-ieme chiffre vaut 6
Le 9-ieme chiffre vaut 3

Pour les 4 premiers emplacement, il reste 1,2,7 et 8
le 4-ieme chiffre est 2 ou 8. On vérifie que ca ne peut etre 8 car le 3 ieme chiffre est 1 ou 7 et ni 18 ni 78 ne sont multiple de 4
Donc le 4-ieme chiffre est 2, et par suite le 2eme chiffre est 8
Pour les 1ers et 3eme chiffres, les 2 possibilités restantes fonctionnent.

On a donc les solutions :
-187254963
-781254963

[Esope]

Je suis un nouvel inscrit et je ne sais si mon premier mail à votre intention est bien part ! De quel niveau est le problème du coffre-fort de Teddy ? Et ce sous-problème, qu'en pensez-vous ?

1. Dans le coffre de Teddy Strait, il y a un petit coffre pour lequel malheureusement Teddy ne se rappelle plus du code. Heureusement, il se souvient que le code ne contient pas de zéro, que les chiffres sont tous différents, et qu’à partir de la gauche :
- Le nombre formé par les deux premiers chiffres est un multiple de 2.
- Le nombre formé par les trois premiers chiffres est un multiple de 3.
- Le nombre formé par les quatre premiers chiffres est un multiple de 4.
- Et ainsi de suite… Jusqu’au nombre formé par les neuf premiers chiffres qui est un multiple de 9.
Quel est le code du petit coffre de Teddy Strait ?

Merci de votre aide !

[vingtdieux]

Écrire dans 9 colonnes les multiples du numéro (aller assez loin tant qu'on des multiples à 2 chiffres) de la colonne. Lire de droite à gauche les chemins possibles. Il faut que le chiffre de gauche de i ème colonne soit celui de droite de la i-1 ème colonne.

[Esope]

Merci beaucoup Vingtdieux, mais ta réponse est tellement concise (sans doute suffisante pour un esprit matheux, que je n'ai pas...) que je n'arrive pas bien à la comprendre. Tu pourrais me donner la solution, soit le code du petit coffre ? En regardant bien les chiffres, je comprendrai sans doute mieux ton explication. Merci !

[vingtdieux]

Le premier tableau montre en noir les chiffres impossibles. La colonne 5 c'est forcement 5 car 0 est impossible. Apres pour la colonne 6 c'est forcement un 4. On continue vers la droite avec les possibilités indiquées en vert et en pourpre.
Seule possibilité 54 963.
On repart de la colonne 5 vers la gauche et on fait un raisonnement semblable. Résultats sur la figure jointe.

[Esope]

Merci mais les trois derniers chiffres ne sont pas 54963. Voici les trois solutions :

381654729

781654329

987254163

A ta disposition pour le raisonnement, si quelque intérêt pour toi. Mais en tout cas merci encore pour ton intérêt.

[vingtdieux]

Ah bon 29 est un multiple de 9?

[Ellyana]

C'est pas la même consigne, Vingtdieux. Relis bien l'énoncé, il y a une nuance :
Tous les chiffres situés à gauche du neuvième chiffre comptent !

[Esope]

En fait, je me suis trompé. Il n'y a qu'une réponse, que j'ai trouvée laborieusement, en procédant pas à pas car la solution m'importait moins que la méthode pour y parvenir (sans recours à l'algèbre si possible), une méthode qui doit être accessible à des écoliers de 11 ans, ayant tout juste abordé le sujet des diviseurs et multiples. Ce problème du petit coffre est plus difficile que celui du coffre..., facilement résolu sur ce site.

[zygomatique]

Merci pour votre réponse et votre solution fort bien exposée à ce petit problème, dont je me demande à quels élèves, de quel niveau, il s'adresse. Pouvez-vous répondre à cette question ? Ma petite fille, de 11 ans, en classe 7 P à Genève (CM 2), a eu ce problème et j'ai bien eu l'impression qu'il était complètement au-dessus de ses forces... Ces problèmes sont repiqués du site Enseignons.be et j'en ignore complètement la source... Elle a aussi à résoudre ce supplément au coffre-fort de Teddy :

1. Dans le coffre de Teddy Strait, il y a un petit coffre pour lequel malheureusement Teddy ne se rappelle plus du code. Heureusement, il se souvient que le code ne contient pas de zéro, que les chiffres sont tous différents, et qu’à partir de la gauche :
- Le nombre formé par les deux premiers chiffres est un multiple de 2.
- Le nombre formé par les trois premiers chiffres est un multiple de 3.
- Le nombre formé par les quatre premiers chiffres est un multiple de 4.
- Et ainsi de suite… Jusqu’au nombre formé par les neuf premiers chiffres qui est un multiple de 9.
Quel est le code du petit coffre de Teddy Strait ?

Vous pourriez m'aider à le résoudre. Merci ! Esope faubin@esope.ch

salut

la seule chose à connaître est ses tables de multiplication .... et donc la notion de multiple .... qui est effectivement du niveau primaire ....

ensuite tout le problème est la compréhension de texte c'est à dire bien traduire l'énoncé ...

:lol3:

[Esope]

Merci pour ta réponse mais tu peux m'en dire un peu plus ? Bon, quelle est la méthode, pour parvenir à la solution, et quelle est la solution, si tu l'as ...?

[zygomatique]

le nombre est abcdefghi et comme il est dit plus haut

ab est multiple de 2
bc est multiple de 3
...

on en déduit que

e = 5
f = 4 (car 5f est multiple de 6)
g = 2 ou 9 (car 4g est multiple de 7)
....

[Ellyana]

Pas exactement, car si ab est multiple de 2,
abc est multiple de 3
abcd multiple de 4, etc...

le nombre est toujours abcdefghi.
b, d, f, h sont pairs (Donc ce sont, même si on ne connait pas l'ordre, 2, 4, 6, 8)
abcde est multiple de 5, donc e = 5.
Ensuite, abc, def et ghi sont tous multiples de 3
d5f est multiple de 3, avec d et f pairs, et cd est multiple de 4.
Comme c est impair, d = 2 ou 6

Essayons avec d=2. Alors on a : abc 258 ghi
Pour qu'abc et ghi soient multiples de 3, il faut que 3, 6, 9 soient ensemble et que 1, 4, 7 soient ensemble.
De plus, abc258gh doit être multiple de 8. Si 8gh est multiple de 8, alors abc258 est multiple de 8. 800=8*100, donc on s'intéresse à gh. On remarque que le seul couple de chiffres qui peut former un multiple de 8 est 9 et 6 (96 = 80 + 16)
On a donc a4c 258 963. Mais ni 147 258 9, ni 741 258 9 ne sont multiples de 7.

On prend donc d = 6 et le nombre abc 654 ghi
Il peut y avoir 1,2,3 et 7,8,9 ou 1,8,3 et 729 ou... bref, c'est beaucoup plus compliqué, et je ne vois pas comment continuer.

[zygomatique]

oui pardon ...

je n'avais pas fait attention que Esope avait modifié l'énoncé de skycop ...

et c'est un peu plus compliqué ...

[Ellyana]

Pas exactement, car si ab est multiple de 2,
abc est multiple de 3
abcd multiple de 4, etc...

le nombre est toujours abcdefghi.
b, d, f, h sont pairs (Donc ce sont, même si on ne connait pas l'ordre, 2, 4, 6, 8)
abcde est multiple de 5, donc e = 5.
Ensuite, abc, def et ghi sont tous multiples de 3
d5f est multiple de 3, avec d et f pairs, et cd est multiple de 4.
Comme c est impair, d = 2 ou 6

Essayons avec d=2. Alors on a : abc 258 ghi
Pour qu'abc et ghi soient multiples de 3, il faut que 3, 6, 9 soient ensemble et que 1, 4, 7 soient ensemble.
De plus, abc258gh doit être multiple de 8. Si 8gh est multiple de 8, alors abc258 est multiple de 8. 800=8*100, donc on s'intéresse à gh. On remarque que le seul couple de chiffres qui peut former un multiple de 8 est 9 et 6 (96 = 80 + 16)
On a donc a4c 258 963. Mais ni 147 258 9, ni 741 258 9 ne sont multiples de 7.

On prend donc d = 6 et le nombre abc 654 ghi
Il peut y avoir 1,2,3 et 7,8,9 ou 1,8,3 et 729 ou... bref, c'est beaucoup plus compliqué, et je ne vois pas comment continuer.

On dit que la nuit porte conseil (pour mon cas, c'est le petit-déjeuner, mais bref)
On cherche toujours à ce que abc 654 gh soit multiple de 8, ce qui revient à dire que 4gh doit être multiple de 8. Comme 400 = 8*50, on a juste besoin que gh soit multiple de 8, et on essaie toutes les combinaisons possibles (sachant que le chiffre des unités est pair) :
-98, 92, 78, 38, 18 et 12 ne sont pas multiples de 8
-72 et 32 sont multiples de 8.

On a donc abc654g2i et on en déduit a8c654g2i (si c'est 987 654 321, je me mets en colère)
La seule chose que l'on peut encore faire, c'est chercher les multiples de 7, et pour ça je ne vois que les tests. Il nous reste 1, 3, 7, 9. Le 1 et le 7 ne peuvent être dans le même bloc de 3, et le 3 et le 9 non plus.
-On teste pour 183654729 si 183 654 7 est multiple de 7. Ca n'en est pas un (merci TI-nspire :3 )
-381 654 7 = 7*709*769 ; soit 381 654 729 solution
On teste tout de même le reste pour vérifier que c'est la seule
-189 654 3 : nada ; 981 654 3 non plus ;
-189 654 7 et 981 654 7 non plus.
-mettre le 3 et le 7 ensemble dans le premier bloc est impossible (pour les multiples de 8)
-3 et 9 impossible
-789 654 3 n'est pas multiple de 7
-987 654 3 non plus

On vérifie 381 654 729 :
38 est divisible par 2
381 est divisible par 3
381 6 est divisible par 4
381 65 est divisible par 5
381 654 est divisible par 6
381 654 7 est divisible par 7
381 654 72 est divisible par 8
381 654 729 est forcément divisible par 9.

En effet, on sait ce qu'est un multiple en primaire. De là à dire que c'est du niveau primaire...
C'est un peu comme les Olympiades en 1ère S, qui ne font appel qu'à des connaissances acquises. Cependant, on n'aura jamais un exercice d'Olympiade au bac, ou même en contrôle normal (à la limite en DM).
Je dirais même que cette "énigme" est pour un primaire beaucoup plus dure qu'une Olympiade pour une 1ère, parce que n'importe qui galère. Pour moi, c'est trop compliqué pour des primaires. Par contre, donner cet énoncé, et leur faire vérifier une dizaine de combinaisons données en disant que la bonne est parmi celles-là, ce serait possible et même plutôt sympa. Voilà ^^

[zygomatique]

quand on pose un tel problème l'important est de savoir quels sont les objectifs ...

il n'est pas très simple ... mais pas très compliqué non plus ...

il permet de (re)découvrir des critères de divisibilité ::

par 2, par 4 et par 8,
par 3 et par 9,
par 5
par 6

seul la division par 7 est plus compliqué ....

ensuite les taches répétitives (division) et plus compliquées peuvent être effectuées à la machine ...

il développe l'esprit de recherche, le travail collaboratif (dans le cadre d'un travail de groupe), ...

et la recherche vaine n'est pas inutile et même très riche ....

:lol3:

[Esope]

Merci Ellyana pour cette brillante démonstration. Pour ma part, je suis parvenu à trouver le code du petit coffre de T'es Distrait en progressant dans une recherche pas à pas, soit trouver d'abord TOUS les nombres à deux chiffres possibles, puis tous les nombres à trois chiffres (qui intègrent bien entendu ceux à deux chiffres), tous les nombres à quatre chiffres, etc. Il est intéressant de constater que : 16 nombres à 2 chiffres répondent aux conditions, 20 à 3 chiffres, 30 à 4 chiffres, 30 à 5 chiffres, 20 à 6 chiffres, 10 à 8 chiffres, 10 à 9 chiffres, mais un seul à 7 chiffres, soit 3816547 (le code complet étant 381654729). Pas d'algèbre et un raisonnement "mécanique", qui pourrait être à la portée d'enfants de 10-11 ans, pour autant que le maître soit très patient, très pédagogue, et assez talentueux pour enseigner la persévérance à ses élèves. Je tiens la démonstration un peu longue de cette recherche "simple" de la solution à la disposition de ceux que cela intéresse. Et vous remercie tous pour votre participation. faubin@esope.ch