Petits exos OIM

[lapras]

Bonsoir,
petit exercice des OIM de 2006 assez interessant :
Trouver tous les paires d'entiers (x,y) telles que
1 + 2^x + 2^(2x+1) = y²



Bonne chance ! :happy2:

[alben]

Bonsoir,
Tu n'aurais pas oublié un 2 devant le x dans le deuxième exposant par hasard ?

[lapras]

Bonsoir alain :happy2:
Oui désolé c'était bien 2^(2n+1)

[Maeredhel]

Hello, alors j'aurai bien trouvé (au bout de pas mal de temps de recherche il faut l'avouer) quelque chose mais avant de vous donner la preuve (faut quand meme vous laisser chercher :p ) , je voudrais savoir si j'ai bon ^^
Je trouve qu'il y a deux solutions :
le couple (x,y) = (0,2)
et (x,y) = (4,23)

Quelqu'un peut me dire si j'ai bon?
Merci

[lapras]

Salut,
Bravo, c'est exactement ca ! :zen: (et tu complete par symétrie pour les solutions négatives)

[Maeredhel]

exact, j'avais lu entier "naturel" :p Si la demo vous intéresse, mp moi.

[lapras]

Si tu veux tu peux la posté en blanc, comme ca ceux qui sont interessés peuvent le voir si ils veulent.

[Maeredhel]

Alors désolé mais je n'ai pas trouvé le truc pour cacher, donc toute la demo sera en blanc. Séléctionnez la pour la voir :p


Alors, on a l'équation 1+2^x+2^(2x+1)=y^2
Travaillons dans les positifs, on obtient ttes les solutions par symétrie.
Eliminons tout de suite le cas x=0 :
on a : 1+2^0+2^1 = 4 = y^2
D'ou (x,y)=(0,2)
Dès lors, x>=1.
=> 2^x est paire, 2^(2x+1) aussi
=> y^2 est impaire
=> y impaire.
On pose y = 2k+1.
y^2=4k^2+4k+1 = 1+2^x+2^(2x+1)
=>4k(k+1)=2^x (1+2^(x+1))

-Cas x=1:
y^2 = 1+2+2^3=11
pas de solutions entières.

-Cas x>=2
k(k+1)=2^(x-2) * (1+2^(x+1))
Il nous faut donc trouver les nombres de la forme 2^(x-2) * (1+2^(x+1)) qui soient le produit de deux nombres consécutifs.

Pour réduire les solutions possibles j'ai effectué des congruences mais il s'agit juste de ma démarche, ces congruences se révelent inutiles. (pour info il faut x=0[4] ou x=1[4] et y5[10] mais bon...)

A partir de là, j'ai été bloqué. Il est donc temps de voir ce qui se passe avec des exemples. voila le tableau :
Tableau

Pour trouver les solutions, il faut arranger la décomposition en facteur premier de telle sorte qu'on aie k*(k+1). Il est evident que k et k+1 sont premier entre eux. Il faut donc que tous les exposants de chaque nombre premier soient soit pour k, soit pour k+1.
On note pour la ligne x=4 que le produit de la 2eme et la 3eme colonne donne 4*3*11 soit 12*11. On a ici une solution avec k=11, donc y=2k+1=23 et x=4.
Au contraire, pour les autres lignes il n'y a pas d'arrangement possible.

Je suis resté pas mal de temps bloqué la. Au bout d'un moment je me suis dit que c'était pas possible de le résoudre (dès qu'on touche aux nombres premiers ça se complique franchement...)
J'ai donc changé d'optique pour monter maintenant qu'il n'y a pas d'autre solution.

Mais j'ai noté quelque chose. Dans tous les cas 2^(x-2)2
Il faudrai que f(x)>1. Dans ce cas, on montrerait que si on fait passer le plus petit facteur possible la différence est superieur à 1 (et la différence augmenterai encore si on faisait passer plus de facteur). Donc il n'y aurai pas de solution pour trouver k*(k+1).

Je vous passe les calculs de dérivée, on obtient f'(x)=2^(x-2)*ln(2)/3
Bref tout ce qu'il y a de positif... même strictement positif !
Donc f est strictement croissante. De plus f(2)=0
et le limite de f(x) qd x tend vers l'infini est +infini
Donc f réalise une bijection entre [2,+infini[ et [0,+infini[
D'apres le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique x0>2 tel que f(x0)=1.Or d'apres l'exemple, f(4)=1. Donc x0=4.
La seul solution superieur à 2 à notre problème est donc 4.
D'ou les deux seuls solutions (0,2) et (4,23).



Voila j'espère que j'ai été à peu près clair. Si vous avez des questions vous pouvez me MP ou poster pour avoir des précisions.
(Merci d'avoir lu jusqu'au bout ^^)

[lapras]

Salut !
Jolie jolie !
Mais tu t'es compliqué beaucoup la vie notemment en dérivant, utilisant des fonctions comme ln(x)
De plus, tu as du faire un tableau pour trouver x=4, mais comment aurais tu fait si x était tres grand ?
sans moyen informatique ca aurait été dur !
Par contre j'aime bien ton raisonnement avec entiers consécutifs, j'avais pas pensé a ca :happy2:
BRAVO, c'était un exo d'OIM, c'est franchement dur !
Toutes les semaines j'essaierai de rammener des exos d'olympiades internationnales en arithmétique, si ca te plait !
Si tu veux ma solution du probleme (enfin je te cache pas que j'ai résolu le probleme avec de l'aide, a mon cour du samedi :happy2: )

Bonne nuit !
Lapras

[aviateurpilot]

voila une demo plus court.
pour
pour pas de solution.
pour
on a
et on a
donc
donc ou
donne (impossible car et )
donne
donc qui donne
pour pas de solution.
pour