Perdu en forêt...

par **Ben314** » 24 Jan 2010, 12:39

Salut,
Ma soeur vient de me poser une énigme (dont je n'ais pas la solution) tiré d'une espèce de jeu de piste organisé par un copain à elle.

Vou êtes perdu dans une forêt sans boussole, mais vous savez que vous êtes dans une zone comprise entre deux chemins parallèles distants de 100m et vous avez un trés bon "sens de l'orientation" vous permettant de suivre une parfaite ligne droite ou un parfait arc de cercle ou tout autre courbe définie à l'avance.
Vous voulez rejoindre un des deux chemins en effectuant dans le pire des cas une longueur minimale. Quel tracé devez vous suivre.

Exemple : Je fait racine(2)*100m en ligne droite dans une direction quelconque (j'ai pas de boussole), puis je tourne de 90° et je refait racine(2)*100m. Je suis sûr de tomber sur un des deux chemins en ayant parcouru au max racine(2)*200m [c'est le racine(2)*200m que l'on veut minimiser]

Rappel : le trajet peut être "quelconque" (spirale logarithmique....)

par **nodgim** » 24 Jan 2010, 13:40

Je trouve un chemin de 257 m environ.

par **Ben314** » 24 Jan 2010, 14:23

En suivant deux cotés d'un triangle équilatéral de hauteur 100m, il me semble que ça marche avec une distance max d'environ 231m... (???)

Mais, je suis pas totalement sûr que c'est bon, et, si c'est bon, je parierais bien que c'est pas l'optimum...

par **Doraki** » 24 Jan 2010, 14:46

Je pense avoir 204,720 m

par **nodgim** » 24 Jan 2010, 14:58

Oui, ça a l'air bon, et en plus c'est nettement mieux que mon demi cercle complété par 2 segments.

par **Doraki** » 24 Jan 2010, 15:24

J'ai un chemin de 209,430m qui me semble convenir.

par **Doraki** » 24 Jan 2010, 15:54

Bon je dis ptetre des bêtises...
Soit A le point de coordonnées (0m,0m), et B (0m,100m).
On part de A.
On parcourt un arc de cercle centré en B jusqu'au point (60m,20m)
On va tout droit pendant 50m jusqu'au point (100m,50m)
On se tourne, on va tout droit pendant 50m jusqu'au point (60m,80m)
On parcourt un arc de cercle centré sur A jusqu'au point B.

Il me semble que ça fait un chemin qui marche et qui mesure... 228,7m

par **nodgim** » 24 Jan 2010, 16:54

La version "Dôme oriental" c'est encore mieux!

par **Ben314** » 24 Jan 2010, 18:08

nodgim a écrit:La version "Dôme oriental" c'est encore mieux!

???
J'ai rien cherché... mais j'ai quand même fait le dessin de doraki et ça me semble trés pertinent (est-ce le "min" ?)

Il y a juste un truc qui me chiffone (un peu) c'est le fait que la soluce ait un angle : si on pose le problème à la gros bourrin comme un truc à maximiser sous contrainte, j'avais un peu l'impression qu l'on devrait obtenir quelque chose de "lisse", mais j'en suis de moins en moin convaincu...

par **nodgim** » 24 Jan 2010, 19:22

Ben314 a écrit:???
J'ai rien cherché... mais j'ai quand même fait le dessin de doraki et ça me semble trés pertinent (est-ce le "min" ?)

Il y a juste un truc qui me chiffone (un peu) c'est le fait que la soluce ait un angle : si on pose le problème à la gros bourrin comme un truc à maximiser sous contrainte, j'avais un peu l'impression qu l'on devrait obtenir quelque chose de "lisse", mais j'en suis de moins en moin convaincu...

Ma réflexion faisait suite à la réponse de Doraki, ce n'était pas une nouvelle solution. On est passé du style roman (l'arche en demi cercle) à la pyramide ( ta solution triangulaire) au dôme oriental de Doraki.
J'ai vérifié la réponse de Doraki, j'ai trouvé les mêmes valeurs.

par **Ben314** » 24 Jan 2010, 19:32

Mais avez vous (l'un ou l'autre) "un bout de début de preuve" concernant la minimalité ?

J'ai aussi vérifié la soluce de doraki, et intuitivement , ça m'étonerait pas trop que ce soit l'optimum....

P.S. Tel le gros bourrin, j'avais commencé à écrire en polaire une courbe paramétrée et essayé de regarder à quelle condition les "diamètres dans la direction theta" étaient tous plus grand que 100, mais j'arrive à rien....

par **Doraki** » 24 Jan 2010, 19:35

Pas moi en tout cas.
Peut-être que des architectes en savent un peu plus ?

par **LeJeu** » 24 Jan 2010, 22:01

Je suis d'accord - le triangle ( même avec des angles, Benj... :we: ) est optimum !

Et la même chose avec un seul chemin ????

(vous êtes dans la foret - le chemin est à 100 m - Quelque part - quel est le tracé optimum ?)

Le Jeu

Évidemment c'est plus compliqué ..

par **Ben314** » 24 Jan 2010, 22:43

LeJeu a écrit:Je suis d'accord - le triangle ( même avec des angles, Benj... :we: ) est optimum !

Je comprend pas trop "le triangle" : tu parle de la soluce de doraki ? tu as un "début d'idée de preuve" concernant l'optimumitude (je me doute que c'est pas trop guère français, mais ça en jette... :zen:)

Pour l'autre problème, ça me semble aussi Achement interessant
On pourrait aussi ensuite supposer que l'on ne sait pas à quelle distance on est situé du chemin (qui par contre reste bien rectiligne)

par **ffpower** » 24 Jan 2010, 23:06

Et apres on remplacera la ligne par un compact donné..puis par un compact non donné^^

par **Ben314** » 24 Jan 2010, 23:24

ffpower a écrit:Et apres on remplacera la ligne par un compact donné..puis par un compact non donné^^

Ouais, Ouais, Ouais, ça permettra ENFIN de retrouver l'aiguille que j'ai malencontreusement égarrée dans une meule de foin... :zen:

par **Ben314** » 25 Jan 2010, 11:20

1) Je suis de plus en plus convaincu que la soluce de Doraki est optimale.

2) Pour le cas d'une unique droite, je propose une première soluce (triviale) : ligne droite de 100m puis 3 quart de cercle centré sur le point de départ puis 100m en ligne droite => 671.2m

Edit : pour le 2) j'ai légèrement mieux (même idée + racourci au début) : 639.7m

par **scelerat** » 25 Jan 2010, 13:11

Ben314 a écrit:Edit : pour le 2) j'ai légèrement mieux (même idée + racourci au début) : 639.7m

Si je comprends bien, tu vas au debut un peu plus loin que le cercle, et tu le rejoins ensuite par la tangente, ce qui te permet d'en faire moins de 3/4 de tour ensuite et de faire moins de 100 m en ligne droite enfin. Est-ce ca ?

par **Ben314** » 25 Jan 2010, 15:03

scelerat a écrit:Si je comprends bien, tu vas au debut un peu plus loin que le cercle, et tu le rejoins ensuite par la tangente, ce qui te permet d'en faire moins de 3/4 de tour ensuite et de faire moins de 100 m en ligne droite enfin. Est-ce ca ?

Tout à fait, et une petite étude de fonction "à la bourrin" comme je sais si bien faire montre qu'il faut partir avec un angle de pi/6 par rapport au rayon :

Ca pourrait être l'optimum.... mais j'ai pas essayé avec une "spirale" bien sentie...

par **scelerat** » 25 Jan 2010, 16:41

Tiens, il me semble que si on s'eloigne

de plus au depart, alors on augmente le trajet de

a ce point, mais qu'on peut arreter plus tot la partie droite a la fin, qui peut etre reduite de

, ce qui ferait plus court au total.

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