Partie entière...

[Ben314]

Salut tout le monde.
Quels sont les tel que, pour tout , on ait ? (où désigne la partie entière du réel )

P.S. Pour le moment je connais un qui marche, et je cherche si c'est le seul...

[Monsieur23]

(J'up pour marquer le sujet, ça m'intéresse :-) )

[Matt_01]

Tu as déjà dû voir qu'il ne devait pas être rationnel, et sauf erreur inférieur à 1.

EDIT : ca ne marche même pas pour n=1, donc il y a bien erreur.

[Doraki]

J'ai lu la question et je me suis dit "il s'agit bien évidemment de a = (1+sqrt5)/2".

Bien sur je n'ai pas la moindre idée de comment prouver ni qu'il marche, ni que c'est le seul.

[Ben314]

Bonne intuition... (comme d'hab... :ptdr: )

Le fait que le nombre d'Or marche n'est franchement pas difficile à établir.

Après, le fait que c'est le seul... j'ai toujours pas la preuve... (et je commence à me demander).
On montre relativement facilement qu'un tel alpha est non rationnel, strictement positif, puis qu'il est >1.
Un peu plus technique : il est <2. On en déduit facilement qu'il est entre racine(2) et racine(3) puis qu'il est >3/2.

Après, j'ai l'impression que, si preuve il y a, c'est sans doute du coté des fractions continues qu'il faudrait gratter... (et donc de la suite de Fibonnacci)

[Doraki]

En fait si je me souviens de comment prouver que (1+sqrt5)/2 convient

on regarde très fort les suites
a(n) = [phi n]
b(n) = [n/phi]
c(n) = la suite des entiers qui n'apparaissent pas dans la suite (a(n))

elles vérifient tout un tas de propriétés magiques comme
b(n) = a(n)-n (facile)
c(n) = [phi² n] (parceque 1/phi² + 1/phi = 1, ça a un nom mais je l'ai oublié)
a(a(n))+1 = c(n) (magie !)

mais aussi
c(n) = a(n)+n = b(n)+2n
b(a(n)+1) = n
a(b(n)+1) = n ou n+1 selon si n apparait dans la suite (a(n)) ou non
et surement plein d'autres.

je sais plus trop dans quel ordre on peut les démontrer ni comment à part en fixant les suites suffisamment longtemps.

Par contre comme c'est classique, je pense que c'est de là que tu as tiré ta question.

[Ben314]

En fait, le fait que phi marche, c'est bien plus c.. que ça : ça résulte presque directement du fait que phi²=phi+1 donc la partie entière de gauche vaut n+E(phi.n) et tu conclue rapidement que ça marche.

[Matt_01]

En fait Ben tu recherchais les tels que , non ?

[Ben314]

C'est plus contraignant que ça :
Entre les deux termes et dont on veut que les parties entières soient égales, il n'y a aucune inégalité vrai pour tout n donc tu ne résumera pas la question à l'aide d'une seule inéquation.

[Ben314]

Bon, à force, j'ai la preuve de l'unicité du alpha en question : il n'y a bien QUE le nombre d'or qui vérifie le bidule (mais ma preuve est un peu calculatoire...)

Donc maintenant... c'est un vrai "défi" : à vous de jouer...

[Waax22951]

J'aimerais bien voir à quoi ressemble la preuve.. Tu ne pourrais pas la mettre comme solution ou c'est trop demander ? (s'il te plaît.. :triste: )

Bonne soirée ! :we:

[Ben314]

C'est "à peine" bourrin....

Quels sont les tel que, ?

1) L'hypothèse implique en particulier que, pour tout , (sinon du fait que on déduirait que )
La partie gauche de l'inégalité donne alors et, comme est dense dans (car ) cela signifie que et donc que ( car ).

2) Pour , et donc ce qui montre que

3) On note la suite de Fibonacci : et pour tout .
On procède par récurrence en supposant que, pour un certain pair, on ait (ce qui est vrai pour )
a) Si on prend en utilisant les propriétés de la suite , en particulier le fait que pour tout on peut montrer que puis que et on en déduit que
b) On prend ensuite . Grâce aux nouvel encadrement de on montre que que puis que et on en déduit que
c) On prend enfin et on montre que que , que et que .
On a donc forcément on en déduit que
FIN de la récurrence et de la preuve vu que les deux bornes de l'encadrement de tendent vers

(j'avais bien précisé que c'était bourrin...)

[Ben314]

Par contre, le fait que marche est assez trivial :
Pour fixé, posons . Comme on a et il faut donc montrer que . Or on a :
car
La partie droite de l'inégalité résulte du fait que et du fait que donc .
La partie gauche de l'inégalité résulte du fait que car

[Waax22951]

Merci beaucoup et encore bien joué ! :lol3: