Partie entière

[lapras]

Bonsoir,
voici un petit exo d'olympiade qui va peut etre vous paraitre facile (aviateurpilote, imod, etc...), mais il m'a quand même fait réfléchir un peu :id:

Soit n un entier naturel, combien y a t il d'entiers n tels que [n/a] = [n/(a+1)] ?
a appartient à N*
[x] est la partie entière de x.

Bonne chance ! :ptdr:

[Joker62]

Il est mal posé l'exercice

Soit n un entier naturel
Combien y-a-t il de n tel que ?

[lapras]

a étant un entier strictement positif donné, combien y a-t-il d’entiers positifs n tels que [n/a]=[n/(a+1)] , où [x] désigne la partie entière de x, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x ?

C'est l'énoncé exacte

[Skullkid]

Ce ne serait pas plutôt "soit a un entier strictement positif donné, combien y a-t-il de n tels que [n/a]=[n/(a+1)] ?"

Edit : j'ai rien dit ! Je vais utiliser ce post pour faire part de mes réponses si je trouve qqch :ptdr:

Edit2 : je trouve que le nombre N d'entiers n qui vérifient la relation est compris entre 1 et a²-1, ce n'est qu'un début, mais il se fait tard (et je suis pas à l'abri d'une erreur) x)

[aviateurpilot]

la question est tres bien posé lapras

soit a dans N*
supposons que
on a donc
d'ou
donc on cherche le nombre que n tel qu'il exist dans tel que
les p possible sont les p tel que d'ou
d'ou on cherche .

[lapras]

:++: Bien aviateurpilote
J'ai aussi trouvé a(a+1)/2 !
Remarque :
j'avais résonné différement !
j'ai considéré que les parties entiere de n/a étaient réprésentées dans des intervalles come cela:


[0;a[U[a;2a[U[2a;3a[...U...[Na, a(N+1)[
=0 =1 =2 =N

et les parties entieres de n/(a+1) :
[0;a+1[U[a+1;2a +2 [U[2a+2;3a+3[...U...[Na+N, (N+1)a+(N+1)[
=0 =1 =2 =N

Il faut chercher N tel que
a(N+1)<=Na+N
aN+a<=aN+N
N>=a
donc des que N = a, les intervalles de n/a et de n/(a+1) n'ont plus d'entiers communs dans un intervalle représentant la même partie entiere.
Dans le premier intervalle tu as a entiers communs, dans le deuxieme tu ens a a-1 etc...
donc en tout il y a a(a+1)/2 possibilité de n.


Je m'exprime mal, mais je me comprend ;)

[Quidam]

Je m'exprime mal, mais je me comprend

Dans ce cas tout va bien ! C'est bien le plus important n'est-ce pas ?

[Dominique Lefebvre]

" Selon que notre idée est plus ou moins obscure, L'expression la suit, ou moins nette ou plus pure.

Ce que l'on conçoit bien s'énonce clairement,

Et les mots pour le dire arrivent aisément !

"

Boileau.