Nombres rationnels

par **abel** » 28 Sep 2006, 16:58

Bonjour à tous
Voici un exo apparemment tiré d'olympiade :

- Est-il possible de placer, sur un cercle de rayon 1, 2006 points de sorte à ce que la distance entre 2 points quelconque soit un nombre rationnel ?

par **Flodelarab** » 28 Sep 2006, 17:05

abel a écrit:Bonjour à tous
Voici un exo apparemment tiré d'olympiade :

- Est-il possible de placer, sur un cercle de rayon 1, 2006 points de sorte à ce que la distance entre 2 points quelconque soit un nombre rationnel ?

A mon avis non.

sinon pi serait rationnel

par **anima** » 28 Sep 2006, 17:08

Flodelarab a écrit:A mon avis non.

sinon pi serait rationnel

Il y a un truc non précisé, assez important: la distance en corde, ou la distance sur le cercle? Si c'est la distance en corde, c'est parfaitement possible. Il faudrait faire un 2006-ogramme

par **Flodelarab** » 28 Sep 2006, 17:22

anima a écrit:Il y a un truc non précisé, assez important: la distance en corde, ou la distance sur le cercle? Si c'est la distance en corde, c'est parfaitement possible. Il faudrait faire un 2006-ogramme

oui un 2006-ogone

par **anima** » 28 Sep 2006, 18:11

Flodelarab a écrit:oui un 2006-ogone

Ah oué pardon. C'est pentagone, pas pentagramme :hum:

par **tize** » 28 Sep 2006, 18:54

anima a écrit:Il y a un truc non précisé, assez important: la distance en corde, ou la distance sur le cercle? Si c'est la distance en corde, c'est parfaitement possible. Il faudrait faire un 2006-ogramme

Si tu penses à des polygones réguliers, ça me semble faux...ne serait que le triangle equilateral inscrit dans le cercle de rayon 1 à un côté

Si tu ne penses pas aux polygones réguliers...je veux bien voir comment tu fais...
Pour l'instant je ne sais pas ...

par **abel** » 29 Sep 2006, 17:51

C'est la distance entre les points Ak et Al donc pas la longueur de l'arc. J'aurais du préciser.
Moi je trouve que c'est possible, je pense que mon raisonnement est correct (je n'ai pas la réponse "officielle") mais si qqun me prouve que c'est faux je suis prêt à l'entendre.
Voilà.
Bon courage.

PS : les points doivent être distincts 2 à 2 (sinon ça serait trivial)

par **anima** » 29 Sep 2006, 19:09

tize a écrit:Si tu penses à des polygones réguliers, ça me semble faux...ne serait que le triangle equilateral inscrit dans le cercle de rayon 1 à un côté
Si tu ne penses pas aux polygones réguliers...je veux bien voir comment tu fais...
Pour l'instant je ne sais pas ...

J'ai bien une idée mais ca va etre tordu. On a donc un périmetre de mon futur polygone noté A', et le périmetre du cercle noté A. Et x sera mon nombre de points.
Il est admis que plus il y a de points, plus A' tend vers A.
On a donc

De la, un petit calcul nous donne que 2pi/2006 peut etre encadré par 3/2006 et 4/2006. En alternant les deux valeurs de distance, on obtient un 2006-ogone non régulier, de coté un nombre rationnel a chaque fois. Je dirai meme que 4/2006 = 2/1003. Par contre, cela ne vérifie pas pour tout point quelconque. Juste pour tout point proche. Je bosserai la dessus, ca me tiendra amusé tout le weekend

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