Les billes et les mathématiques

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
bunny
Membre Relatif
Messages: 166
Enregistré le: 14 Avr 2009, 22:21

Les billes et les mathématiques

par bunny » 10 Sep 2009, 18:08

Bonsoir à tous et à toutes :

Enoncé :

Quelqu'un vous dit :
"Ce sac contient 123 billes de couleurs différentes. Si tu tires au hasard 100 billes de ce sac, tu peux être certain d'avoir 4 billes de couleurs différentes, mais ce n'est pas sûr si tu en tires seulement 99."

Combien dois-t-on tirer de billes au hasard, au minimum, pour être certain d'avoir des billes d'au moins 3 couleurs différentes ?

Quelq'un a une idée ? Je n'ai pas réussi à trouver :triste:

Un grand merci par avance pour votre réponse.



Clembou
Membre Complexe
Messages: 2732
Enregistré le: 03 Aoû 2006, 13:00

par Clembou » 10 Sep 2009, 18:16

bunny a écrit:Enoncé :

Quelqu'un vous dit :
"Ce sac contient 123 billes de couleurs différentes. Si tu tires au hasard 100 billes de ce sac, tu peux être certain d'avoir 4 billes de couleurs différentes, mais ce n'est pas sûr si tu en tires seulement 99."

Combien dois-t-on tirer de billes au hasard, au minimum, pour être certain d'avoir des billes d'au moins 3 couleurs différentes ?

Quelq'un a une idée ? Je n'ai pas réussi à trouver :triste:

Un grand merci par avance pour votre réponse.



Bonsoir,

Poster une enigme ne dispense pas la politesse...

bunny
Membre Relatif
Messages: 166
Enregistré le: 14 Avr 2009, 22:21

par bunny » 10 Sep 2009, 18:23

Bonjour Clembou,

Désolé pour ma politesse. J'ai écrit un peu vite et je n'y ai pas du tout penser. Maintenant si tu pourrais bien m'aider, ce serait également poli de ta part de me répondre pour ne pas fermer déjà cette discussion ;)

Merci par avance.

Anonyme

par Anonyme » 10 Sep 2009, 18:36

Faut utiliser le principe des tirroirs . Pas le temps de developper ma reponse aujourd'hui. J'essayerai de le faire demain si personne ne l'aura fait d'ici la.

bunny
Membre Relatif
Messages: 166
Enregistré le: 14 Avr 2009, 22:21

par bunny » 10 Sep 2009, 18:40

Merci beaucoup à toi Qmaths et j'espère à demain.
Je vais quant à moi réfléchir de mon côté...

Timothé Lefebvre
Membre Légendaire
Messages: 12478
Enregistré le: 14 Déc 2005, 14:00

par Timothé Lefebvre » 10 Sep 2009, 19:33

Yop,

principe des tiroirs (:lol4:) expliqué sur le site d'Animath : [url="http://www.animath.fr/old/cours/tiroirs.html"]http://www.animath.fr/old/cours/tiroirs.html[/url]

bunny
Membre Relatif
Messages: 166
Enregistré le: 14 Avr 2009, 22:21

par bunny » 10 Sep 2009, 22:48

Merci Timothé. Je vais voir ça.

axwella
Membre Naturel
Messages: 40
Enregistré le: 08 Sep 2009, 01:58

par axwella » 11 Sep 2009, 03:39

Timothé Lefebvre a écrit:Yop,

principe des tiroirs (:lol4:) expliqué sur le site d'Animath : [url="http://www.animath.fr/old/cours/tiroirs.html"]http://www.animath.fr/old/cours/tiroirs.html[/url]


Principe des tiroirs de... Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet :doh:
mathématicien allemand.

- je m'ennuie la nuit toute seule alors je taquine le temps -

Anonyme

par Anonyme » 11 Sep 2009, 13:38

Qmath a écrit:Faut utiliser le principe des tirroirs . Pas le temps de developper ma reponse aujourd'hui. J'essayerai de le faire demain si personne ne l'aura fait d'ici la.

En relisant l'enonce je viens de m'apercevoir que je l'avais mal compris je croyais qu'en tirant 100 on aurait au moins 4 de la meme couleur ce qui n'est pas le cas. Je ne sais pas s'il on peut toujours appliquer le principe des tirroirs maintenant
Sincèrement desole. Je reflechis au probleme , j'ai ma petite idee ..

Help
Membre Naturel
Messages: 53
Enregistré le: 22 Aoû 2006, 14:54

par Help » 11 Sep 2009, 17:20

Bonsoir,

Bunny tu cherches juste la réponse ou que l'on te guide pour trouver la solution toi-même ?

Si tu cherches un piste, tu peux essayer de remplir les ??

Si avec ? billes on n'est pas certain d'avoir 4 couleurs, c'est que dans certains cas avec ces ? billes il n'y aura que ?? couleurs.

Dans la pire des configurations une de ces ?? couleurs ne sera représentée que par ??? bille(s), donc pour être certain d'avoir 3 couleurs il faut en prendre au minimum ????

Anonyme

par Anonyme » 11 Sep 2009, 18:38

As t on 4 couleurs au depart ?

sami-sg1
Membre Naturel
Messages: 15
Enregistré le: 11 Sep 2009, 19:14

par sami-sg1 » 11 Sep 2009, 22:10

Je pense que c'est 76 et pour cause :

En règle générale si on a "n" couleurs dans l'urne, où chaque couleur "i" (i de 1 à n) lui est associée c[i] = le nombre de boules de couleur i , et si on veut chercher min[p] = le nombre minimal de boules à tirer pour être sur d'avoir p couleurs, on tire les "p-1" plus grands c[i] ajouté de une unité. Par exemple si l'urne contient 10 boules rouges, 5 boules bleus et 3 boules blanches et on veut connaitre min[2], on tire 10 + 5 + 1 boules. Donc min[2] = 16.

Dans notre cas, 100 boules sont suffisantes pour être sur de tirer 4 couleurs, mais 99 ne le sont pas. Conclusion : la somme des trois plus grands c[i] est égale à 99 (en d'autres termes, les trois couleurs les plus nombreuses dans l'urne regroupe 99 boules).
Si on appelle ces trois couleurs i1 , i2 et i3, et si on suppose que c[i1]<=c[i2]<=c[i3] (quitte à changer la notation), le problème qui reste est de déterminer c[i2]+c[i3].
Puisqu'on veut chercher le nombre minimale de boules à tirer pour être sur d'avoir 3 couleurs, il faut dans ce cas chercher la valeur maximale que pourra atteindre c[i2]+c[i3] dans le cas général. Ce qui se ramène à chercher la valeur minimale de c[i1].
Si il y avait seulement 4 couleurs dans l'urne, c[i1] ne pourra jamais être strictement plus petite que 24 car sinon la quatrième couleur qui reste (disant i4) aura 24 couleurs (123-99), ce qui est plus grand que c[i1], donc c[i4]>c[i1] => absurde d'après la définition de i1.
Si il y avait plus que 4 couleurs dans l'urne, la valeur minimale de c[i1] diminuerait.
Mais puisqu'on ne sait rien sur le nombre de couleurs présent dans l'urne, il faut prendre la plus grande valeur pour c[i1] qui est 24.
On conclue que la valeur maximale de c[i2] + c[i3] = 75.
Conclusion générale : il faut tirer au moins 76 boules pour être SÛR d'avoir 3 couleurs. :)

A+

Anonyme

par Anonyme » 12 Sep 2009, 00:04

sami-sg1 a écrit:Je pense que c'est 76 et pour cause :

En règle générale si on a "n" couleurs dans l'urne, où chaque couleur "i" (i de 1 à n) lui est associée c[i] = le nombre de boules de couleur i , et si on veut chercher min[p] = le nombre minimal de boules à tirer pour être sur d'avoir p couleurs, on tire les "p-1" plus grands c[i] ajouté de une unité. Par exemple si l'urne contient 10 boules rouges, 5 boules bleus et 3 boules blanches et on veut connaitre min[2], on tire 10 + 5 + 1 boules. Donc min[2] = 16.

Dans notre cas, 100 boules sont suffisantes pour être sur de tirer 4 couleurs, mais 99 ne le sont pas. Conclusion : la somme des trois plus grands c[i] est égale à 99 (en d'autres termes, les trois couleurs les plus nombreuses dans l'urne regroupe 99 boules).
Si on appelle ces trois couleurs i1 , i2 et i3, et si on suppose que c[i1]c[i1] => absurde d'après la définition de i1.
Si il y avait plus que 4 couleurs dans l'urne, la valeur minimale de c[i1] diminuerait.
Mais puisqu'on ne sait rien sur le nombre de couleurs présent dans l'urne, il faut prendre la plus grande valeur pour c[i1] qui est 24.
On conclue que la valeur maximale de c[i2] + c[i3] = 75.
Conclusion générale : il faut tirer au moins 76 boules pour être SÛR d'avoir 3 couleurs. :)

A+


J'avais aussi trouve 76 avec le meme raisonnement mais nos raisonnement se base sur le fait qu'il y a seulement 4 couleurs or ce n'est pas indique dans l'hypothese c'est pour cela d'ailleurs que j'ai demande dans mon message précédant si on avait 4 couleurs.
Si il y a plus de 4 couleurs on ne peut resoudre le probleme que si on a le nombre minimum de billes a tirer pour avoir 5 billes de couleurs differentes.
Sinon je ne pense pas que le probleme est resolvable par manque d'information.

sami-sg1
Membre Naturel
Messages: 15
Enregistré le: 11 Sep 2009, 19:14

par sami-sg1 » 12 Sep 2009, 01:40

Salut !

J'ai traité le cas où il y a plus que 4 couleurs ! J'ai dit :

"Si il y avait plus que 4 couleurs dans l'urne, la valeur minimale de c[i1] diminuerait.
Mais puisqu'on ne sait rien sur le nombre de couleurs présent dans l'urne, il faut prendre la plus grande valeur pour c[i1] qui est 24."

et effectivement il y a une erreur de raisonnement ! Il faudrait prendre la plus petite valeur de c[i1] et non la plus grande valeur ! Dans ce cas il faut voir quel est le nombre maximal de couleurs qu'on peut avoir dans l'urne, et la réponse est simple ! c'est 3 + 24 (les trois couleurs i1, i2 et i3 et pour les 24 boules qui restent, et ben chaque boule a une couleur différente!). Ce qui ramène c[i1] à la valeur minimale de 1 !!!
Donc la valeur maximale de c[i2]+c[i3] est 98.
Donc il faut tirer 99 boules pour être sur d'avoir 3 couleurs............. On a rien gagné à la fin, sauf peut être la démonstration....

nodjim
Membre Complexe
Messages: 3241
Enregistré le: 24 Avr 2009, 18:35

par nodjim » 13 Sep 2009, 09:28

D'accord avec Sami.
Il suffit de penser à une partition ordonnée des groupes de couleur, du plus gros groupe possible au plus petit, et la solution apparait naturellement.

vanhoa
Membre Naturel
Messages: 87
Enregistré le: 01 Fév 2010, 13:51

par vanhoa » 04 Fév 2010, 05:14

salut,

je dis 67:

a 100 billes on est sur d'avoir 4 couleurs cela signifie donc qu'il y a au maximum 33 billes de la meme couleur: 33 + 33 +33 + 1 (avec les 99 billes on a pris toutes les billes qui ont la meme couleur)

donc dans le PIRE des cas avec un tirage de 99 billes on prend les trois couleurs.

pour 2 couleurs meme raisonnement, 66 billes (33 + 33) et en rajoutant une bille on est oblige de prendre une nouvelle couleur.

reponse 67 si je n'ai pas fais d'erreur ;)

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20672
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 04 Fév 2010, 10:57

Salut,
Si on considère qu'il peut y avoir plus de 4 couleurs, que pensez vous du cas où il y a 27 couleurs différentes réparties de la façon suivante : 97 billes d'une même couleur et 1 bille de chacune des 26 autres couleurs...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Finrod
Membre Irrationnel
Messages: 1944
Enregistré le: 24 Sep 2009, 12:00

par Finrod » 04 Fév 2010, 11:20

Supposons qu'il y a n couleurs et k(i) billes pour la ième couleur.

Alors la réponse est où h réalise le

Les donné de l'énoncé permettent de dire que la somme des trois plus grand k(i) vaut 99. Mais cela ne permet pas de calculer la somme des deux plus grand.
En fait le troisième étant plus petit que les deux premiers, il y a 33 cas : il peut valoir de 1 à 33.
Si je ne m'abuse vous avez fait chacun un des cas extremal.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 20672
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

par Ben314 » 04 Fév 2010, 11:54

C'est bien le calcul que j'ai fait, et, il me semble bien que, quand un énoncé demande ce qu'il faut faire "pour être certain que..." la réponse clairement attendu et celle dans le pire des cas.

Pour faire une analogie, lorsque tu demande un max/min sous contrainte, est ce que tu attend comme réponse des truc du type :
"En rajoutant la contrainte blabla on trouve..."
Perso, je considère que, dans ce cas, tu ne répond pas à la question que l'on t'a posé.

En résumé : je maintient que, pour moi, il n'y aucune ambigüité dans l'énoncé est que la réponse est 99.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Finrod
Membre Irrationnel
Messages: 1944
Enregistré le: 24 Sep 2009, 12:00

par Finrod » 04 Fév 2010, 12:17

C'est pas faux.

"Vous savez pas ce que c'est une côtelette ?"

 

Retourner vers ⚔ Défis et énigmes

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 1 invité

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite