Olympiades mathématiques

[new007]

soit f une application de N* dans N, vérifiant les propriétés suivantes :
-quelque soit m et appartenant à N* , f(m+n)-f(m)-f(n) prend l'une des valeurs 0 ou 1 :
-f(2)=0, f(3)>0 et f(9999)=3333
déterminer f(1982). merci

[chan79]

soit f une application de N* dans N, vérifiant les propriétés suivantes :
-quelque soit m et appartenant à N* , f(m+n)-f(m)-f(n) prend l'une des valeurs 0 ou 1 :
-f(2)=0, f(3)>0 et f(9999)=3333
déterminer f(1982). merci

salut
f(1982) est égal à 660
on montre que d'abord que f(1)=0

[chan79]

soit f une application de N* dans N, vérifiant les propriétés suivantes :
-quelque soit m et appartenant à N* , f(m+n)-f(m)-f(n) prend l'une des valeurs 0 ou 1 :
-f(2)=0, f(3)>0 et f(9999)=3333
déterminer f(1982). merci

salut
une idée de recherche seulement
soit une suite f vérifiant les conditions de l'énoncé
f(2)-f(1)-f(1)=-2f(1) ne peut pas être égal à 1 donc f(1)=0
f(3)-f(1)-f(2)=f(3) donc f(3)=1
donc
f(1)=0
f(2)=0
f(3)=1
f(n)-f(n-1)-f(1)=f(n)-f(n-1)= 0 ou 1
f(n)-f(n-2)-f(2)=f(n)-f(n-2)=0 ou 1
f(n)-f(n-3)-f(3)=f(n)-f(n-3)-1=0 ou 1 soit f(n)-f(n-3)=1 ou 2
si on considère les termes d'une suite f(n)
ils augmentent à chaque fois de 0 ou 1
si deux termes consécutifs sont différents, il n' y a pas augmentation
si trois termes consécutils sont égaux, il y a augmentation de 1
si on décide d'augmenter le moins possible à chaque fois on définit la suite des f(i) à partir de i=1:
0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5,
Soit donc la suite g définie par (pour tout entier non nul k)
g(1)=g(2)=0
g(3k)=k
g(3k+1)=k
g(3k+2)=k
on a bien g(9999)=3333
alors g(1980)=660
g(1981)=660
g(1982)=660
g(1983)=661
On démontre facilement que cette suite g satisfait les hypothèses de l'énoncé.
SI on démontre que g est la seule suite qui satisfait l'énoncé, c'est terminé :hum:

[MMu]

On peut généraliser un peu l'énoncé initial :
est un entier positif, est une suite d'entiers positifs ou nuls, telle que
Il est facile de voir que
On écrit , donc et comme est un entier positif on a , donc
Pour tout on a donc
Il s'ensuit que pour on obtient .
D'autre part on a d'ou
On a donc , d'où
Pour et on a , et on obtient :
ou encore (partie entière) .. (q.e.d)
:zen: :zen:

[chan79]

On peut généraliser un peu l'énoncé initial :
est un entier positif, est une suite d'entiers positifs ou nuls, telle que
Il est facile de voir que
On écrit , donc et comme est un entier positif on a , donc
Pour tout on a donc
Il s'ensuit que pour on obtient .
D'autre part on a d'ou
On a donc

Salut
on ne peut pas changer l'énoncé en faisant intervenir un M mal défini :hum:

[Zweig]

Elle a très bien défini son M. Dans l'énoncé originel, M = 3333.

[MMu]

Salut
on ne peut pas changer l'énoncé en faisant intervenir un M mal défini :hum:

C'est si difficile de voir la généralisation ? :hum:

[chan79]

C'est si difficile de voir la généralisation ? :hum:

oui, oui, désolé, j'ai répondu trop vite. Je vais regarder ta démo. Merci :lol3:

[chan79]

C'est si difficile de voir la généralisation ? :hum:

Bravo pour ta démo :++:
Je doute un peu pour M=2 cependant
si tu considères la suite
f(1)=0
f(2)=0
f(3)=1
f(4)=1
f(5)=2
f(6)=2
soit 0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6, ... f(2k+1)=k et f(2k)=k-1
donc avec M=2
on a f(3M)=M et f(5) n'est pas égal à 1
cette suite vérifie pourtant les hypothèses
D'avance mes excuses si j'ai fait une ânerie :zen:

[MMu]

Bravo pour ta démo :++:
Je doute un peu pour M=2 cependant
si tu considères la suite
f(1)=0
f(2)=0
f(3)=1
f(4)=1
f(5)=2
f(6)=2
soit 0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6, ... f(2k+1)=k et f(2k)=k-1
donc avec M=2
on a f(3M)=M et f(5) n'est pas égal à 1
cette suite vérifie pourtant les hypothèses
D'avance mes excuses si j'ai fait une ânerie :zen:

Salut chan79, ..
Dans ma démo on voit que pour . Dans ton cas ... :zen:

[chan79]

Pour et on a , et on obtient :
ou encore (partie entière) ..

Si M=2 tu ne peux pas avoir k>=1 et 3k+2<=M, donc on peut rien conclure
les deux suites suivantes vérifient les hypothèses initiales avec f(6)=2
00111222333444555
00112233445566778
mais pas de souci, si f(9999)=3333, alors f(1982) est bien égal à 660, comme tu l'as parfaitement démontré :zen: