Integrale

[Anonyme]

Salut a tous ,

Un exercice assez sympathique niveau TS:

Soit une fonction continue sur tel que pour toute fonction en escalier sur , . Que peut on dire de ?

[Le_chat]

Humm.. f ne serait elle pas la fonction nulle? telle est la question :lol3:

[benekire2]

Oui f est nulle .... :we: (menfin toi tu le sais déjà ... ) Pour le coup c'est "classique" si je puis dire , un dessin aide :lol3:

[Nightmare]

Hello,

Preuve spontanée : On me dit fonction continue et fonction en escalier, je pense forcément à approcher uniformément ma fonction continue par des fonctions en escaliers. Soit alors (gn) suite de fonction en escalier qui converge uniformément vers f, l'intégrale des f(x)gn(x) est nulle, mais par convergence dominé cette suite d'intégrale converge vers l'intégrale de f² qui est donc nulle et donc f aussi par continuité.

Preuve niveau TS après réflexion (en blanc) : s'il existe a tel que f(a) > 0 (ou f(a) < a ça revient au même) alors f est strictement positive sur un certain intervalle centrée en a, et si l'on définit l'application e en escalier qui vaut 1 sur cet intervalle et 0 ailleurs, alors l'intégrale de fe sur [a,b] sera strictement positive, contradiction.

[Anonyme]

Moi j'ai fait le suivant (assez proche de la 2eme demo de Night) :

je défini la fonction g en escalier tel que :g(x)=1 si f(x)>=0 et g(x)=-1 si f(x)<0. Alors f(x)g(x)=|f(x)| après vous connaissez la suite

[benekire2]

Pareil que Qmath, ça permet de montrer que |f|=0 ...

[Anonyme]

Je pense qu'il serait beaucoup plus intéressant s'il l'on impose une condition aux fonctions en escaliers mais j'ai pas trouve de restrictions convenables pour l'instant.

[Nightmare]

Si on leur impose la monotonie?

[Anonyme]

Je pense que c'est faisable si g est monotone sans préciser son sens de variation (c-a-d qu'on peut utliser g une 1ere fois croissante puis une 2eme fois décroissante ).

[Nightmare]

Oui ça reste vrai si l'on suppose les applications en escaliers croissantes ou décroissante et c'est pas plus dur à montrer !

:happy3:

[Anonyme]

En gros il suffit d'appliquer ma demo ( ou la tienne mais j'ai pas vérifier pour la tienne ) plusieurs fois sur des sous intervalles consécutifs bien choisis et déduire que sur chacun de ces sous intervalles la fonction est nulle.

[Nightmare]

Oui ou sinon on écrit e (mon application ) sous la forme a-b avec a et b en escaliers croissantes.

[Anonyme]

Donc on peut se ramener au cas ou g (fonction en escalier) est quelconque en utilisant la linéarité des intégrales. J'avais pas remarqué :doh: Je me suis compliqué la vie comme d'hab :ptdr: