Integrale double

[aviateur]

Bonjour
C'est peut être assez connu alors j'adresse cette question à ceux qui ne connaissent pas:

Soit f une fonction définie sur le carré [0,1]^2 par

si 0<x<y<1.

si 0<y<x<1.

f(x,y)=0 ailleurs sur le carré.


Calculer

Déterminer

[Ben314]

Salut,
Si ça t'amuse, tu peut chercher si tu arrive à "reconstruire" le contre exemple :
Quelles sont les fonctions "régulières" telle que la fonction soit telle que :

[aviateur]

Oui @ben.
Par calculs on voit que seul l'exemple que j'ai donné est solution.

[pascal16]

y a -t-il une explication "simple" sur le fait qu'un volume calculé par une intégrale puisse varier ?

[aviateur]

Bonjour @pasacal16 Je ne comprends pas ta question

[Lostounet]

y a -t-il une explication "simple" sur le fait qu'un volume calculé par une intégrale puisse varier ?

Le non respect du théorème de Fubini-Tonelli?

[aviateur]

Rebonjour
Effectivement
On peut le voir rapidement car |f(x,y)| n'est pas localement intégrable au voisinage (0,0)
i.e en coordonnées polaires on a

C'est le comportement en 1/r qui pose problème.

[Ben314]

y a -t-il une explication "simple" sur le fait qu'un volume calculé par une intégrale puisse varier ?

Oui et non.
Perso, je commencerais par faire remarquer qu'au fond, le problème est exactement le même que celui d'une "suite de nombres" où, en changeant l'ordre dans lequel on fait la somme des nombres, on change la valeur de la somme : là, c'est pareil, l'intégrale, c'est plus où moins "la somme des hauteurs" de la fonction et on peut soit sommer ligne par ligne, soit colonne par colonne : on somme "la même chose", mais pas dans le même ordre.
Et l'exemple le plus simple que je connais où la valeur de la somme dépend de l'ordre dans lequel on somme, c'est celui d'un tableau doublement infini (i.e. des ) où on met des 1 sur la diagonale, des -1 juste en dessous et des 0 ailleurs :
- Si tu somme "ligne par ligne", sur la première tu as 1,0,0,0,... de somme 1 puis des 0,0,...0,-1,1,0,0... de somme 0 donc la somme des sommes par ligne est 1.
- Si tu somme "colonne par colonne", alors sur toutes les colonnes, y compris la première, tu as 0...0,1,-1,0,0,... de somme 0 donc la somme des sommes par colonne est 0.
A ce niveau là, à toi de voir si sur cet exemple archi simple, ça continue à te paraitre "paradoxal" ou pas qu'on obtienne pas la même chose selon la façon de procéder pour sommer (perso. je crois pas me souvenir que ça m'aie jamais semblé paradoxal, mais faut dire qu'on m'a appris très très tôt que l'infini, c'est pas un truc bien compatible avec l'intuition...)

Sinon, éventuellement une autre façon de voir les choses (en fait plus ou moins la même...) c'est que l'intégrale de ton truc sur le triangle 0<x<y<1, ça fait +oo et l'intégrale sur l'autre triangle 0<y<x<1, ça fait -oo (*)
Arrivé à ce point, ça semble pas trop surprenant que, quand on ajoute +oo avec -oo, ben le résultat qu'on obtient dépende de la "façon" dont on a procédé pour les ajouter...

(*) Et le fait qu'on ait des volumes infini, ça montre clairement qu'il faut pas se fier à la façon dont la notion de volume marche pour des objets "concrets" vu que là, c'est du "pas concret du tout"

[pascal16]

Bref, il faut changer de modèle mathématique pour faire des calculs près de trous noirs.

au passage le 1+2+3+4... =-1/12 :
https://www.youtube.com/watch?v=xqTWRtNDO3U

[Ben314]

Le "fameux" 1+2+3+...=-1/12 (*), ça fait de nombreuses fois qu'on en discute : c'est visiblement passé "à la mode" il y a quelques années de présenter ce résultat au "grand public".
Et le souvenir que j'en garde, c'est qu'un des rare mec un peu sérieux qui en parlait à l'époque et qui avait tenté de "justifier" les seuls calculs qu'on peut faire pour faire semblant de faire une preuve naïve, ben il avait abouti au fait que.. c'est pas faisable...
Son point de vue était de considérer une forme linéaire L définie sur un s.e.v. F de l'ensemble des suites réelles (U_n) et qui "étendrait" la notion de limite usuelle tout en conservant certaines propriétés qui sont celle dont on a besoin pour faire la preuve "naïve" de (*). Sauf que le bilan, ben c'est qu'on montre assez facilement qu'une telle forme linéaire L avec ces désidérata là ne peut pas être définie sur un s.e.v. F contenant la suite (1,2,3,...)

Bref, je continue à trouver (comme à l'époque...) que c'est totalement stupide : des trucs "bizarres" concernant les sommes infinies que le péquin moyen peut comprendre, ben il y en a des tas, par exemple que la valeur d'une somme infinie puisse dépendre de l'ordre dans lequel on somme (ou l'étude des différents paradoxes de Xénon).
Donc je vois franchement pas l'intérêt de parler de trucs pareils à des néophytes, principalement à ceux qui ne connaissent pas déjà la notion "usuelle" de convergence d'une série (avec les "paradoxes" associés du style qu'une série semi-convergente, on peut la faire converger vers absolument n'importe quel réel modulo de changer l'ordre de somation).

P.S. (je viens de regarder la vidéo) : Concernant l'effet Casimir, la dernière fois qu'on avait parlé de (*), bien qu'étant une bille complète en physique, j'étais allé chercher des articles sérieux de physique où ils en parlaient et, comme tu t'en doute je l'espère, aucun d'eux ne justifiait les calculs qu'ils faisaient à coup de 1+2+3+...=-1/12 (cherche quand est-ce qu'on en a parlé la dernière fois si tu veut des détails + la référence de l'article de physique + le comment le physicien même les calculs pour aboutir à son résultat)

[pascal16]

1+2+3+4... =-1/12 on peut sans doute trouver un tas d'autres chiffres différents de -1/12 qui vérifient cette égalité en modifiant la façon d'y arriver.

Dans ce cas précis de fausse justification physique, on sent derrière le fait qu'il y a un processus physique qui fait que l'équation du genre x=oo/oo a en fait une solution (c'est ma méthode de résolution qui n'est pas bonne ou tout simplement les équations). Ce processus (genre somme télescopique) est reproduit de la même manière du coté de la physique et des mathématiques. C'est l’explication de ce processus qu'il faut trouver !

L'auteur ne donne d'ailleurs pas comment on fait des sommes infinies non convergentes une LCI dans Rbarre.

En tous cas, merci pour les explications sur les intégrales non convergentes.

[Ben314]

Pour pointer du doigt ce qui, a mon sens, ne va pas du tout dans la vidéo, c'est qu'à un moment donné (aprés les calculs), il explique parfaitement bien que, lorsque l'on passe de la notion de somme finie à celle de somme infinie, y'a des tas de chose qu'on perd (il donne comme exemple qu'une somme fini de rationnels donne un rationnel alors qu'une somme infinie peut donner pi).
Or, j'ai pas l'impression que dans la vidéo il évoque à un quelconque moment le fait que toute les opération qu'il utilise dans sa "preuve", ben c'est exactement le même problème : elle sont évidement valable pour les sommes finies, mais qu'est ce qui nous dit que ça restera valable pour les sommes infinies ?
Par exemple, le premier truc qu'il utilise, c'est que si A=a1+a2+.... alors 1-A=1-a2-a3-... qui est évidement vrai pour les sommes finies (c'est l'associativité de l'addition plus la distributivité de -1 sur une somme), mais d'où sort il que ça reste vrai pour les sommes infinis alors que justement il pointe du doigt plus loin qu'il y a des tas de trucs qui ne marchent plus avec les sommes infinies ?

[pascal16]

le résultat change suivant l'approche, certaines permettent de garder une loi utilisable :

https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_divergente