Double divisibilité

[nodgim]

Montrer que si N(N+1)+1 est divisible par p premier, p>3, il l'est 2 fois par p entre 2 multiples consécutifs de p.:dingue:

[Matt_01]

Je n'ai pas bien compris la fin de l'énoncé :"il l'est 2 fois par p entre 2 multiples consécutifs de p" ?

[guigui51250]

Je n'ai pas bien compris la fin de l'énoncé :"il l'est 2 fois par p entre 2 multiples consécutifs de p" ?

euh moi non plus :mur:

[nodgim]

Un exemple:
2*3+1=7
(2+7)*(3+7)=7*13
(2+14)*(3+17)=7*39

Il y a une seconde série:
4*5+1=7*3
(4+7)*(5+7)+1=7*19
(4+14)*(5+14)+1=7*49

il y a bien, pour chaque multiple de 7, à chaque fois 2 solutions.

Reste à montrer que c'est tjs vrai si p>3

Facile, très facile.. :happy2:

[guigui51250]

récurrence?

[leon1789]

j'ai rien compris :triste:


hypothèse -> p divise N(N+1) +1
conclusion à prouver -> p divise (N+k.p)(N+1+k.p)+1 pour k=1 ou 2

c'est ça ?

[Doraki]

Je crois qu'il faut montrer que l'équation n*(n+1)+1 = 0 dans Z/pZ a toujours 0 ou 2 solutions quand p est un nombre premier différent de 3.

En tout cas s'il en a une on peut factoriser le polynôme X²+X+1 pour trouver la 2ème racine.
Quand p=3, X²+X+1 = (X-1)² donc il a une solution double.

[leon1789]

Je crois qu'il faut montrer que l'équation n*(n+1)+1 = 0 dans Z/pZ a toujours 0 ou 2 solutions quand p est un nombre premier différent de 3.

En tout cas s'il en a une on peut factoriser le polynôme X²+X+1 pour trouver la 2ème racine.
Quand p=3, X²+X+1 = (X-1)² donc il a une solution double.

ok. :id:

(Mais, je ne vois pas trop le lien avec les exemples... :triste: )

Pour aller un poil plus loin,
i) si alors il y a 2 solutions distincts à N(N+1)+1=0
ii) si alors il y a 0 solution à N(N+1)+1=0
iii) si alors p=3 et il y a 1 solution double à N(N+1)+1=0 (qui est 1)

[nodgim]

Un exemple:
2*3+1=7
(2+7)*(3+7)=7*13
(2+14)*(3+17)=7*39

Il y a une seconde série:
4*5+1=7*3
(4+7)*(5+7)+1=7*19
(4+14)*(5+14)+1=7*49

il y a bien, pour chaque multiple de 7, à chaque fois 2 solutions.

Reste à montrer que c'est tjs vrai si p>3

Facile, très facile.. :happy2:

Je dis que pour 1*7, il y a 2 solutions:
(2+7)*(3+7)+1=7*13
(4+7)*(5+7)+1=7*19
et, plus généralement, il y a 2 expressions:
(2+k*7)*(3+k*7)+1 et (4+k*7)*(5+k*7)+1 qui sont divisibles par 7.
Et c'est vrai pour tous les nombres premiers qui divisent N(N+1)+1.
Pourquoi ?

Question subsidiaire: Pour quel N atteint on le centième nombre premier que produit cette expression? (le premier est 1*2+1=3) et que vaut il ?

[leon1789]

Je dis que pour 1*7, il y a 2 solutions:
(2+7)*(3+7)+1=7*13
(4+7)*(5+7)+1=7*19
et, plus généralement, il y a 2 expressions:
(2+k*7)*(3+k*7)+1 et (4+k*7)*(5+k*7)+1 qui sont divisibles par 7.
Et c'est vrai pour tous les nombres premiers qui divisent N(N+1)+1.
Pourquoi ?

ok ! ben c'est ce que dit Doraki : dès qu'une équation du second degré (par exemple (N(N+1)+1 = 0) possède une solution, elle en possède une seconde... (ceci est vrai dans Z/pZ, comme dans tout anneau commutatif)

Je t'ai même classifier les nombres premiers en fonction du nombre de racines de N(N+1)+1...

[nodgim]

Une autre preuve, très simple: si n*(n+1)+1=k*p, (-n) et (-n+1) modulo p sont aussi divisibles par p.
(3)*(4)+1=13
-3=10 modulo 13 et -4=9 modulo 13
(9)(10)+1=7*13