Un double de somme de carrés

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 21:22

Bonsoir à tous.
Courte et assez facile, les plus éveillés sont priés de temporiser leurs réponses pour laisser chercher les autres.

Si un nombre est somme de 2 carrés, son double aussi!

par **Krice** » 10 Juil 2010, 21:40

nodjim a écrit:Bonsoir à tous.
Courte et assez facile, les plus éveillés sont priés de temporiser leurs réponses pour laisser chercher les autres.

Si un nombre est somme de 2 carrés, son double aussi!

Bon moi j'suis pas éveillé alors j'répond :id:
Oui le double d'un nombre dont il est la somme de 2 carrés pourra aussi avoir la somme de 2 carrés car tous les nombres on une racine carré

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 22:16

Krice a écrit:Bon moi j'suis pas éveillé alors j'répond :id:
Oui le double d'un nombre dont il est la somme de 2 carrés pourra aussi avoir la somme de 2 carrés car tous les nombres on une racine carré

Ce n'est pas la bonne réponse. Il faut évidemment que les nombres en question soient des entiers naturels.

par **Zweig** » 10 Juil 2010, 22:18

Ca marche pour pour les réels aussi, non ?

En blanc : n = a² + b² => 2n = (a-b)^2 + (a+b)^2

par **Zweig** » 10 Juil 2010, 22:19

Question supplémentaire : montrer que le produit de deux nombres s'écrivant comme somme de 2 carrés est aussi une somme de 2 carrés.

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 22:20

Zweig a écrit:Ca marche pour pour les réels aussi, non ?

En blanc : n = a² + b² => 2n = (a-b)^2 + (a+b)^2

Poser cette question dans R n'a pas beaucoup d'intérêt.

par **nodjim** » 10 Juil 2010, 22:52

Un chouïa plus subtil:
Si un nombre impair est somme de 2 carrés, son triple ne l'est pas.

Infaisable:
Tous les nombres n'étant pas somme de 2 carrés sont justifiés.

par **Zweig** » 10 Juil 2010, 22:56

Tous les nombres n'étant pas somme de 2 carrés sont justifiés.

Pas compris :help:

par **Zweig** » 10 Juil 2010, 23:06

Pour le plus subtil.

On vérifie sans peine que le carré d'un entier pair est congru à 0 mod 4, celui d'un entier impair à 1 mod 4. Comme n est impair (et somme de deux carrés), nécessairement n = 0 + 1 mod 4, d'où n = 1 mod 4. Ainsi 3n = 3 mod 4. Or les combinaisons possibles mod 4 pour la somme de 2 carrés sont 0, 1 et 2 mod 4. Donc 3n ne peut être la somme de deux carrés.

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 00:05

Question subsidiaire :
Quel est le plus petit nombre entier s'écrivant d'au moins 2010 façons différentes comme somme de deux carrés ?

par **Zweig** » 11 Juil 2010, 00:15

Salut,

On note

le nombre de représentations de l'entier

comme somme de 2 carrés,

le nombre des diviseurs de

congrus à 1 modulo 4, et

le nombre de diviseurs de

congrus à 3 modulo 4.

Il suffit alors de résoudre l'inéquation

(Jacobi)

J'y réfléchis.

par **nodjim** » 11 Juil 2010, 07:09

Quand je dis: tout nombre n'étant pas somme de 2 carrés est justifié, cela signifie aussi que si les conditions d'existence de ce nombre comme somme de 2 carrés sont réunies, alors ce nombre est somme de 2 carrés.
Par exemple, les premiers de forme 4k+1 sont tous somme de 2 carrés.
Autre exemple, 65=5*13, les multiples de 5 et de 13 (puissance impaire comprise) étant théoriquement possibles, alors 65 est somme de 2 carrés.
En examinant les 4k+1 jusqu'à 100, ça marche bien. Maintenant, ça reste à infirmer en trouvant l'exception...

par **nodjim** » 11 Juil 2010, 07:46

Zweig a écrit:Salut,

On note le nombre de représentations de l'entier comme somme de 2 carrés, le nombre des diviseurs de congrus à 1 modulo 4, et le nombre de diviseurs de congrus à 3 modulo 4.

Il suffit alors de résoudre l'inéquation (Jacobi)

J'y réfléchis.

ça se démontre ?
Et on peut trouver ces sommes par une astuce ?

par **nodjim** » 11 Juil 2010, 08:59

Zweig a écrit:Question supplémentaire : montrer que le produit de deux nombres s'écrivant comme somme de 2 carrés est aussi une somme de 2 carrés.

Il faut chercher un peu plus là.
(a²+b²)(A²+B²)=(aA+bB)²+(aB-bA)²=(aB+bA)²+(aA-bB)²
donc 2 résultats distincts le plus souvent. Et comme ces 2 résultats peuvent s'associer à un autre produit, les nombres à beaucoup de facteurs 4k+1 ont donc beaucoup d'écritures différentes somme de 2 carrés.

Du coup, ça repond partiellement à la question que je me posais sur les conditions d'existence dans le groupe des nombres somme de 2 carrés.
Partiellement seulement, car maintenant reste à savoir pourquoi tous les premiers de forme 4k+1 existent dans ce groupe.

par **nodjim** » 11 Juil 2010, 09:04

Zweig a écrit:

C'est drôle que les d3 se mettent en soustraction.

par **nodjim** » 11 Juil 2010, 11:36

Ben314 a écrit:Question subsidiaire :
Quel est le plus petit nombre entier s'écrivant d'au moins 2010 façons différentes comme somme de deux carrés ?

Je proposerais bien:
5*13*17*25*29*37*41*53*61*73*89*97
Mais je ne suis pas certain qu'il n 'y a de redondance là dedans.

par **Ben314** » 11 Juil 2010, 18:14

Evidement, j'ai pas la réponse, mais je me demande si en mettant quelques exposants dans le petits nombres premiers cela ne permettrait pas de ne pas prendre les plus grands et donc de diminuer le produit...

EDIT :
Plutôt que de rechercher la méthode, j'ai fait le feignant et j'ai cherché sur le net :
http://www.diophante.fr/A1.-Pot-pourri/A180.-Representation-des-entiers-comme-somme-de-deux-carres.html
(à la fin de la solution...)

par **nodjim** » 12 Juil 2010, 17:32

Ben314 a écrit:Evidement, j'ai pas la réponse, mais je me demande si en mettant quelques exposants dans le petits nombres premiers cela ne permettrait pas de ne pas prendre les plus grands et donc de diminuer le produit...

EDIT :
Plutôt que de rechercher la méthode, j'ai fait le feignant et j'ai cherché sur le net :
http://www.diophante.fr/A1.-Pot-pourri/A180.-Representation-des-entiers-comme-somme-de-deux-carres.html
(à la fin de la solution...)

Ah! Si tu vas chercher tes sources dans Diophante..

par **nodjim** » 12 Juil 2010, 18:02

Une autre question facile:
Soit P premier, et 2 nombres 0< a et b entiers < P dont la somme des carrés est 0 modulo P. Montrer que tous les nombres compris entre 1 et P-1 ont cette propriété, c'est à dire que chaque carré possède un opposé modulo P.

par **Anonyme** » 19 Juil 2010, 01:00

Courte et assez facile, les plus éveillés sont priés de temporiser
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