[Demande d'exercices] Homothéties

par **Zweig** » 03 Juin 2008, 13:39

Bonjour,

Quelqu'un aurait-il la gentilesse de poster des exercices (olympiques) pouvant impliquer l'utilisation des homothéties histoire de me faire la main dessus ... Allez-y mollo au niveau des exos :ptdr: .

Merci.

par **lapras** » 03 Juin 2008, 14:59

Salut,
1) Soit ABCD un carré et P un point quelconque a l'intérieur de ce carré. I, J, K, L sont les milieux respectifs de [AD], [DC], [BC], [AB] et on crée les points I', J', K', L' symétrique de P par respectivement I,J,J,L.
Quelle est la nature de I'J'K'L' ?

2)

Soit ABCD un trapeze et (BC)//(AD)
Montre que L, M K, et N sont alignés (M et N milieux respectifs de [BC] et [AD])

par **Imod** » 03 Juin 2008, 15:37

Un peu plus difficile :

Quel est le plus grand carré que l'on peut inscrire dans un triangle acutangle ? Le dessiner .

Imod

par **lapras** » 03 Juin 2008, 16:54

salut,
je pense qu'il n'y a qu'un carré inscripitible possible dans un triangle ABC.
Pour l'obtenir il faut faire une homothétie : on prend un point M de [AB], on fait la parrallele d à (BC) passant par M, et on prend un point P de cette droite d tel que MP = la distance de M à (BC) (bref, tout ca pour avoir un carré qui a un coté sur (BC))
Puis on fait l'homothétie de centre B et de rapport AI/AP avec I le pt d'intersection de (BP) avec [AC] : on obtiendra un carré homothétique et inscrit dans ABC. Pour l'unicité du carré c'est que si on suppose qu'il y a deux carrés on fait l'homothétie réciproque et on obtient deux carrés qui ont un coté sur (BC) et un point sur (AB). mais qu'on n'ont pas la meme intersection I de (AP) avec (BC) ce qui est évidemment impossible...

par **Imod** » 03 Juin 2008, 17:11

Je suis d'accord avec ta construction ( je t'en proposerai une autre tout à l'heure ) . Pourquoi ne peut-on pas construire comme tu l'as fais pour [BC] , un carré posé sur [AB] ou [AC] ?

Imod

par **lapras** » 03 Juin 2008, 17:27

Oui tu as raison on a 3 carrés possibles (3 cotés différents du triangle). Il faut choisir le plus grand...

par **Imod** » 03 Juin 2008, 17:37

Une construction illustrée :

Imod

par **Zweig** » 03 Juin 2008, 21:57

Merci Lapras et Imod.

Pour le 2), je l'ai déjà fait en classe (avec deux questions intermédiaires), et je pense avoir trouvé le 1) :

[CENTER]

[/CENTER]

Soit

. Clairement, d'après les propriétés de la symétrie centrale, nous avons :

et

. De plus, PL/PL' = 2 et PK/PK' = 2, ainsi la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que (LK) // (L'K'). Ceci étant,

. Un raisonnement analogue permet de montrer que

et

D'après le théorème de Pythagore appliqué aux triangles AIL et DKL nous avons

. Par suite, le triangle LIK est isocèle en L. Or,

. Par déduction,

. Un raisonnement analogue permet de montrer que

. Par suite, IJKL est un carré. Or l'image d'un carré par une homothétie est un carré. On en déduit alors que I'J'K'L' est un carré de côté

, avec

la mesure du côté du carré ABCD.

par **lapras** » 04 Juin 2008, 08:16

Ok c'est bien ! :happy2:
Mais il ne faut pas utiliser thales quand on dispose d'homothéties. Il fallait juste dire : h(L) = L', h(J) J',h(K) = K',h(I) = I'
et on sait qu'alors, l'image de [LJ]est [L'J'] (propriétés de l'homothétie) de meme avec les autres segments et c'est fini.
Pour le 2) avais-tu utilisé une double homothétie ? (de centre K puis de centre L)

par **Zweig** » 04 Juin 2008, 08:21

Ok merci. Oui j'avais utilisé une double homothétie.

par **Zweig** » 04 Juin 2008, 13:58

Par la même, j'aimerais avoir une correction de cet exercice qui était bien sympa !

ABCD est un parallélogramme de centre O, G le centre de gravité du triangle ABC, I et J les milieux respectifs de [AB] et [BC]. La parallèle menée par A à (DJ) coupe en P la parallèle menée par C à (DI).

Montrer que les points D, P, G, O et B sont alignés.

[CENTER]

[/CENTER]

Puisque G est le centre de gravité du triangle ABC,

. De plus, O est le centre du parallélogramme, d'où

. Par suite, D, O, G et B sont alignés.

Soit

avec

. D'après le théorème de la droite des milieux, (IJ) // (DC). Ainsi les triangles IJG et ACG sont homothétiques, d'où

.
Puisque (AP) // (DJ) et (CP) // (DI) on en déduit que

et h

.
Or

, d'où

.
Ainsi les points D, G et P sont alignés.

Conclusion : les points D, O, G, B et P sont alignés.

par **Nightmare** » 04 Juin 2008, 14:02

Bonjour,

plus théorique : Soit f une application linéaire non identiquement nulle de l'espace dans lui même qui commute avec toute rotation.

Montrer que f est une homothétie.

:happy3:

par **lapras** » 04 Juin 2008, 14:16

Bonjour,
Qu'est ce qu'une application linéaire ?

par **Nightmare** » 04 Juin 2008, 14:20

Ah...

f : E -> E est linéaire ssi pour tous vecteurs x et y de E et tout scalaire l :
f(lx+y)=lf(x)+f(y)

:happy3:

par **lapras** » 04 Juin 2008, 14:22

et que veux dire commuter avec toute rotation ?

par **Zweig** » 04 Juin 2008, 14:24

Cet exercice est niveau prépa si je ne m'abuse ?

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