[demande d'exos]Arithmétique

[lapras]

Bonjour,
est ce que vous avez des exos d'arithmétique bien difficiles et dont la solution peut etre élémentaire et élégante ?

Lapras

[Zweig]

Regarde les exos à 4* du poly d'animath.

[ThSQ]

Ouais ça devrait l'occuper au moins cet après-midi :langue2:

Sinon tu prends un exo et tu essayes de le généraliser. Par exemple trouver d'autres valeurs de a telles que la suite ait une infinité de termes premiers deux à deux (perso, j'en vois déjà deux ) ou trouver un a (non pair ....) tel que ce ne soit jamais le cas.

[Zweig]

Mais sinon : Soit une fonction polynominale à coefficients entiers. Montrer que si est un carré parfait, pour tout entier naturel , alors il existe une fonction à coefficients entiers telle que

[lapras]

Merci !
Zweig > pour tout n positif ou nul ?

[Zweig]

est un entier naturel bien sûr et j'ai oublié "pour tout"

[ffpower]

ca a l air méchant comme exo.ca généralise un exo que j avais donné ya quelques temps(a savoir f(n) est un carré pour tout n) et résolu de maniere non élémentaire..

[Zweig]

Ah oui ? N'était-ce pas ?

Si c'est le cas, alors ça se résout de manière élémentaire ...

[ffpower]

euh j ai pas compris.Moi mon exo,c était:soit f une fonction polynomiale a coeef entiers telle que pour tout n,f(n) est un carré.montrer que f=g² avec g poly a coff entiers

[lapras]

Tu avais plus d'hypotheses que nous et ce n'était pas élémentaire ?
sinon le cas fonction affine est facile.

[lapras]

Supposons est un carré pour toutes les puissances de deux.
Alors :



on a alors :



donc

étude de l'équation :

or
d'où (je passe la théorie de ):



ce qui donne apres identification
d'où .
Or donc
les solutions sont donc l'ensemble :


d'où
d'où

[Zweig]

Bien ! Un peu bourrin avec la théorie algébrique des nombres, mais bon !

Autre manière de faire : On suppose et . Par hypothèse, il existe des entiers et tels que : et , d'où ou encore : Absurde. Donc .

On considère maintenant les suites et définies de la manière suivante : . Clairement : , donc pour tout , . Or pour assez grand, , contradiction, donc nécessairement, .

[Doraki]

Hmm, pour tout p premier différent de 2,
la suite (2^n) est dense dans l'ensemble des inversibles de Zp (les nombres p-adiques)
Donc comme f est continue, l'image par f d'un inversible est dans l'adhérence de l'ensemble des carrés, donc inclus dans l'ensembles des nombres de valuation p-adique paire.

Du coup, la valuation p-adique de n'importe quel f(x) est paire sauf peut-être pour p=2 ou p divisant f(0)
(Si p est différent de 2 et si p est un facteur premier de f(x) et si x n'est pas inversible, ça veut dire que x = 0 mod p, et donc que f(0) = 0 mod p, donc p divise f(0))

Si f(0) = 0 alors en regardant la 2-valuation du coefficient de X, on voit qu'elle doit être infinie, et donc que le coefficient est nul. Donc on peut diviser f par X².

Maintenant si f(0) n'est pas nul : soit k la 2-valuation de f(0) (paire car 0 c'est la limite des 2^n)
Soit donc (un) = (an+b) une sous-suite arithmétique de (n*2^(k+1)) qui ne contient aucun multiple de p pour p premier > 2 divisant f(0).
Pour tout n, f(un) est un carré car toutes ses p-valuations sont paires.

Donc f composé avec (x -> ax+b) est un polynome dont toutes les valeurs sont des carrés, c'est donc le carré d'un polynome.
Donc f est le carré d'un polynome à coefficients rationnels, mais comme il est à coefficients entier, f est le carré d'un polynôme à coefficients entiers.

[Imod]

En voilà un qui ne doit pas être trop compliqué ( pure supputation ) .

Montrer que tout entier naturel possède un multiple dont la somme des chiffres est égale à :doh:

Imod

[ThSQ]

10 * n ?

Dis-moi que c'est pas ça.

[ThSQ]

Juste pour le plaisir d'appliquer Euler à toutes les sauces :zen:





marche avec B assez grand (B >= max(a,b))

[lapras]

Bonsoir,

Montrer que tout entier naturel n possède un multiple dont la somme des chiffres est égale à n.

si ,
soit
tel que
par euler,

d'où

et la somme des chiffres de a est .
si , on a un facteur puissance de 10 qui intervient mais c'est la même chose.

[lapras]

SVP vous avez encore des exos ? Ceux que vous avez préféré pour leur difficulté/élégance. (solution élémentaire)

[guigui51250]

salut, il y a un site avec les exos d'OIM depuis 1959 si tu veux : http://imo.math.ca/oim.html

et sinon j'avais trouvé un PDF avec pleins d'exo d'olympiades nationales (environ 150 pages lol tu aurais trouvé ton bonheur) mais je ne le trouve plus, je vais encore cherché

[lapras]

Je sais qu'il existe des pages d'exos, mais je veux des exos que les membres ont apprécié. Parmis les 150 pages peut etre qu'il y aura 10 exos tres élégants.