[demande d'exos]Arithmétique

[guigui51250]

ouè c'est sûr ^^ je vais essayer de retrouver ce truc là puis le regarder un peu pour te trouver quelques beaux exos.

[leon1789]

Bien ! Un peu bourrin avec la théorie algébrique des nombres, mais bon !

Autre manière de faire : On suppose et . Par hypothèse, il existe des entiers et tels que : et , d'où ou encore : Absurde. Donc .

On considère maintenant les suites et définies de la manière suivante : . Clairement : , donc pour tout , . Or pour assez grand, , contradiction, donc nécessairement, .

Astucieux ! :+:

Juste une remarque : n'a rien d'absurde. Cela montre que m=n=0 donc que a=0 !

Ainsi, on pourrait faire deux cas (et sans absurde !) :
premier cas où b=0, amenant donc a=0
et second cas où , amenant , donc donc a=0.

[Zweig]

Astucieux ! :+:

Juste une remarque : n'a rien d'absurde. Cela montre que m=n=0 donc que a=0 !

Sauf que j'avais supposé au départ non nul.

[leon1789]

Sauf que j'avais supposé au départ non nul.

Les hypothèses (sans ) impliquent a=0.
A quoi cela t'a-t-il servi de supposer ?

(Précision : on est sur le net, donc le ton de ma question n'est pas évident. Je tiens à préciser que je ne me moque pas et je ne suis pas ironique, bien au contraire, je suis très sérieux :id: )

[ffpower]

la,ca me semble etre un exemple typique ou se forcer a ne pas raisonner par l absurde est contraignant et inutile.Ca nous oblige a garder jusqu au bout le cas m=0 pour avoir une "echappatoire finale" afin d éviter la fameuse absurdité tabou(enfin,tabou a tes yeux^^).Sinon,on pourrait aussi dans le meme genre résoudre m²=2n² avec m,n strictement positifs,mais réels a priori.Et le raisonnement classique montre que m,n ne sont pas entiers,et on peut conclure.On est content,on a esquivé l absurde,mais ca sert a rien..

PS:au fait,ne t inquiete pas,on sait tous bien que tu ne plaisante jamais quand il s agit d un raisonnement par l absurde :we:

[leon1789]

la,ca me semble etre un exemple typique ou se forcer a ne pas raisonner par l absurde est contraignant et inutile.

Tu aurais dit que le raisonnement par l'absurde t'apparait plus naturellement que qu'un autre, je n'aurais pas trop pu dire non (puisque le naturel est variable en fonction des gens), mais dire que c'est contraignant , je ne suis pas d'accord ... et pour inutile, je n'ai pas compris.

Ca nous oblige a garder jusqu au bout le cas m=0 pour avoir une "echappatoire finale" afin d éviter la fameuse absurdité tabou(enfin,tabou a tes yeux^^).

Je ne comprends ce que tu veux dire. Je reprends la partie de la preuve de Zweig

On suppose et . Par hypothèse, il existe des entiers et tels que : et , d'où ou encore : Absurde. Donc . (...suite de la preuve...)

Il fait la double-hypothèse et . (*)
Ensuite on déroule jusqu'à . Là, puisque , donc on peut écrire . Et enfin, on sait que ceci est absurde, donc . (Et on continue la preuve pour arriver à une autre absurdité, montrant cette fois ...)

Face à cette preuve (tout a fait correcte, il n'y a pas de doute), je me pose cette question : "Mais au fait, que veut-on réellement montrer ? que a=0 !" Alors faisons-le directement dans le cas b=0 (ce qui correspond à cette partie de preuve).

Donc je traite le cas b=0 (ce qui peut être considéré comme une hypothèse, ok). On déroule tout pareil jusqu'à , et là, je sais que ceci implique m=n=0 (**) et cela donne a=0 ! (Et on continue la preuve dans le cas , qui arrive également à ...)

Tu trouves ce dernier paragraphe est forcé, inutile, contraignant ? Etonnant je trouve ! Personnellement, je trouve que ça coule bien, et que l'on va directement au but initial : ce n'est pas plus mal, non ?

(je ne sais pas si je t'ai bien compris en fait)

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(**) Comment sais-je que entraine m=n=0 ? En fait, c'est un résultat caché dans la preuve par l'absurde (celle que l'on voit le plus souvent) de ! (et rebelotte, si je peux dire)


Du coup, là, on voit (un peu, c'est loin d'être hyper convainquant) que faire des preuves qui ne sont pas par l'absurde, modifie les non seulement les démos habituelles, mais aussi les énoncés des résultats retenus. C'est là (enfin, il faut aller plus loin que ça quand même !) que des outils et une vision différents peuvent prendre naissance...


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(*) au passage, personnellement, j'essaie toujours de mettre un minimum d'hypothèses dans mes raisonnements, et non davantage. C'est normal (et pas inutile) car c'est comme ça dans les énoncés de théorèmes (où il y a rarement des hypothèses superflues)