Equation Fonctionnelle (bis)

[_-Gaara-_]

Saluuuuut ^^


voilà donc à mon tour d'en poster une marrante :D

Trouvez toutes les fonction injectives f : N ;) R satisfaisant :

(a) f ( f (m)+ f (n)) = f ( f (m))+ f (n)

(b) f (1) = 2, f (2) = 4.


voilà j'espère que çà ne posera pas de difficultés. Bon courage :we:

[ffpower]

ca a pas l air dur,je vais essayer de la faire en direct^^
ta condition (a) implique fof(m)+f(n)=f(m)+fof(n),autrement dit,fof-f est constante,on donc fof=f+c pour un certain c,et c=2 par (b).(a) devient donc:

f(f(m)+f(n))=f(m)+f(n)+2

bon la je bloque un peu,je v refléchir 2 minutes^^
bon,ok,deja,puisque fof=f+2,grace a b,on obtient directement par reccurence que f(n)=n+2 pour tout n pair non nul

je reflechis encore un peu pour les impairs..
ben a priori,je dirai que f(3),ca peut etre n importe quoi,disons k,et qu on a alors
f(2n+3)=2n+k..che pas si c une condition suffisante,mais je pense que ouais

[lapras]

salut
si on arrive a montrer que f(3) = 5, par récurrence f(2k+1) = 2k+3
C'est mon seul probleme : trouver une valeur impaire autre que 1, et j'ai fini :++:

[aviateurpilot]

1erement fo avoir f:N to N et non N to R
car deja signifie que

solution:
on a
donc et donne
donc et
et donc ==>
d'ou
soit
on a alors et donc
si alors car f est injective
si alors ==> absurde
si ==> absurde
==> ==> et car l'image d'un element et le seule condidact

donc la seule solution est

[_-Gaara-_]

Huhuuuuuuu :ptdr: :ptdr: :ptdr:

C'est bien çà aviateurpilot :id:

:++: