Manipuler l'infini bis

[acoustica]

Bonjour !

Un problème que j'avais posté il y a bout de temps, mais qui n'avait pas trouvé preneur. =)
Je ne retrouve plus la solution dans mes archives^^.

Le problème consiste à montrer que, lorsque cette expression a un sens, on a :



Le problème étant que si on cherche les points fixes de , on a la mauvaise surprise de tomber sur une équation du 4eme degré. J'aimerais croire qu'il y a d'autres moyens d'arriver à nos fins que la résolution de cette équation barbare, surtout que si on compliquait le problème pour fabriquer une équation du 5eme degré un peu moche, on est coincé.

Des idées, suggestions, recettes, formules magiques ? (autres que remplacer et vérifier que ça marche... L'idée serait de savoir comment on peut trouver cette écriture miracle).

[Doraki]

si tu poses x = +sqrt(a-bsqrt(...)) et y = -sqrt(a+bsqrt(...)), tu obtiens les équations

x²-by-a = 0
y²-bx-a = 0

Naturellement, à cause de la symétrie, tu vas obtenir le même polynôme de degré 4 pour x et pour y.
En particulier, en soustrayant, on obtient un truc qui se factorise :

(x-y)((x+y)+b) = 0

Donc soit x=y, et alors ce sont une des deux racines de X²-bX-a, donc x=y= (b+sqrt(b²+4a))/2 ou x=y=(b-sqrt(b²+4a))/2
Et soit x+y+b = 0, et alors ce sont les deux racines de X²+bX-a+b², donc x= (-b+sqrt(4a-3b²))/2 et y = (-b-sqrt(4a-3b²))/2, ou vice versa.

Si on cherche les solutions dans R, il faut avoir x >= 0 et y <= 0, et on trouve bien x= (-b+sqrt(4a-3b²))/2

[acoustica]

si tu poses x = +sqrt(a-bsqrt(...)) et y = -sqrt(a+bsqrt(...)), tu obtiens les équations

x²-by-a = 0
y²-bx-a = 0

Naturellement, à cause de la symétrie, tu vas obtenir le même polynôme de degré 4 pour x et pour y.
En particulier, en soustrayant, on obtient un truc qui se factorise :

(x-y)((x+y)+b) = 0

Donc soit x=y, et alors ce sont une des deux racines de X²-bX-a, donc x=y= (b+sqrt(b²+4a))/2 ou x=y=(b-sqrt(b²+4a))/2
Et soit x+y+b = 0, et alors ce sont les deux racines de X²+bX-a+b², donc x= (-b+sqrt(4a-3b²))/2 et y = (-b-sqrt(4a-3b²))/2, ou vice versa.

Si on cherche les solutions dans R, il faut avoir x >= 0 et y <= 0, et on trouve bien x= (-b+sqrt(4a-3b²))/2

Ah oui super ! Effectivement, il fallait avoir l'idée de poser DEUX nombre x et y et en effet, vu la symétrie... :we:

On a bien toujours l'équation du 4e degré, mais elle a été décomposée en deux équations du second degré.

Merci Doraki ! :lol3: