Equation diophantienne

par **Zweig** » 01 Jan 2009, 18:31

Salut,

Cadeau pour Lapras :zen:

Résoudre dans

:

par **ffpower** » 01 Jan 2009, 20:13

J obtiens une seule sol(1+4+4=3²).Mais comme c est pour lapras,je lui laisse..

par **Zweig** » 01 Jan 2009, 20:15

Il y en a une infinité en fait :happy2:

Non mais tu peux y réfléchir dessus aussi ! :ptdr:

par **ffpower** » 01 Jan 2009, 20:18

Zweig a écrit:Il y en a une infinité en fait :happy2:

Non mais tu peux y réfléchir dessus aussi ! :ptdr:

Oups,j oubliais une simplification au début.J obtiens alors que les solutions s obtiennent a partir de celle que j ai donnée,en multipliant droite et gauche par 4^x,avec x pair.C est bon cette fois?

par **ThSQ** » 01 Jan 2009, 20:37

Déjà si (x,y,z,u) est sol alors (x+1,y+1,z+1,2u) est aussi sol ça en fait déjà un bon paquet.

Reste donc à trouver celles avec x <= y, z=0 et u impair mais comme c'est pour Lapras only :cry:

(je parie pour (x,2x-1,0,2 4^(x-1)+1) mais là c'est miam-time)

par **lapras** » 01 Jan 2009, 21:36

Merci.
par symétrie des roles :

donc

(

)
Etudions l'équation :

Remarquons que

Supposons

:

Alors :

donc

D'où :

donc

d'où.....

Il est tard je pense qu'on arrive à

ou

d'où

donc les solutions sont exactement l'ensemble

en revenant à l'équa initiale :

d'où

finalement, on obtient :

est l'ensemble des solutions

par **Zweig** » 01 Jan 2009, 21:40

Parfait :zen:

par **lapras** » 01 Jan 2009, 21:41

Merci ! Tu peux en filer une plus hard ?

par **Doraki** » 01 Jan 2009, 21:59

lapras, chuis ok pour dire que 4^(y-1) divise celui de m ou de (m+1) qui est pair,
mais pourquoi est-ce qu'ils doivent être égaux ?

par **lapras** » 01 Jan 2009, 22:06

Exact ! Je vais arranger ca

par **Zweig** » 01 Jan 2009, 22:08

Si, ce sont les seules solutions, j'ai lu trop vite, il te manque en fait le cas où

est pair, et on montre qu'il n'y a pas de solutions possibles.

par **lapras** » 01 Jan 2009, 22:10

a pair impossible (évident)

par **ffpower** » 02 Jan 2009, 00:41

Bon ben je peux mettre ma demo maintenant du coup :we:
au depart je me ramene de la meme maniere que lapras a resoudre

avec

Si u est pair,on a necessairement y=0 .on obtient

,ce qui n est pas possible puisque le terme de droite est multiple de 4 et pas celui de gauche
Si u est impair,on réécrit

divise (u-1)(u+1),mais comme u-1 et u+1 ne peuvent etre tous les 2 multiples de 4,on a en fait que

divise u-1 ou u+1.de plus,u-1 et u+1 étant pairs,on en déduit que le terme (u-1)(u+1) peut s écrire sous la forme

avec p pair.Comme

,ceci n est possible que si y=x.on obtient donc

d ou on en deduit u-1=2 ou u+1=2.le 2eme cas n est pas possible,donc u=3 et y=x=2

par **Doraki** » 02 Jan 2009, 00:59

ffpower a écrit: divise (u-1)(u+1),mais comme u-1 et u+1 ne peuvent etre tous les 2 multiples de 4,on a en fait que divise u-1 ou u+1.

Non, il peut y avoir 2 d'un coté et 2^(2y-1) de l'autre

par **ffpower** » 02 Jan 2009, 01:03

exact,il me reste un cas a étudier de plus pres..

par **Doraki** » 02 Jan 2009, 10:22

Je reprends à partir de 1+4^x+4^y = u² avec x <= y.

Si 2x < y+1 :
u > 2^y parceque 1+4^x+4^y > 4^y.
u < 2^y+1 parceque 1+4^x+4^y < 1+2^(y+1)+4^x
Donc c'est impossible.

Si 2x >= y+1 :
Alors, modulo 2^(y+1), u² = 1
Donc u-1 ou u+1 = 0 mod 2^y.
Et donc la seule solution possible est pour u = 2^y + 1.
(2^y - 1 est trop petit, 2*2^y-1 est trop grand)

par **lapras** » 02 Jan 2009, 11:27

salut doraki, j'avais modifié mon post hier, est ce bon ?

par **Doraki** » 02 Jan 2009, 12:24

Je suis pas sur que la paramétrisation des solutions de a²+b²=c²+d² te fasse beaucoup avancer.
Je vois pas trop pourquoi tu multiplies a,b,c,d par 2 avant de paramétrer, et tu pourrais peut-être changer un peu l'ordre des carrés pour avoir des trucs un peu plus simple, mais j'ai l'impression de tourner en rond quand j'essaye.

par **lapras** » 02 Jan 2009, 12:34

en fait la paramétrisation se fait avec des demi entiers donc je multiplie par 2.
Mais apperement ca marche ! :)

Equation diophantienne

Equation diophantienne

Qui est en ligne