Equation diophantienne

[Zweig]

Salut,

Pour un entier naturel donné, trouver tous les triplets d'entiers naturels , avec premier avec , tels que :

[ThSQ]

Blanké

Hors solution triviale (x = y = 0), 2m >= n >= m, la parité tue le truc, x=y=2^qqchose

Edit : j'avais pas vu l'hypothèse pgcd(m,n)=1, y'a des sol à virer mais bon

[lapras]

Bonsoir,
on suppose
soit et avec b et c impairs
On a :

donc
donc
On a :
cas 1) :

donc

donc
m>n absurde
donc
ce qui nous donne

[lapras]

Réponse rédigée (en espérant qu'elle soit juste) :

Notons l'exposant de la plus grande puissance de 2 divisant x.
Soient :
d'où
d'où
a et b impairs
Supposons .
Alors l'équation nous donne :

or
donc est impair.
d'où, en identifiant les puissances de 2 :

donc

donc

Or, donc, si ,
donc
Absurde.
donc (un raisonnement identique donne impossible)
donc


Donc :

Notons que n'a pas de solutions avec a et b impairs, donc
d'où, en identifiant les valuations 2-adique des deux côtés :

donc divise m mais par gauss m divise
donc


On obtient alors facilement l'ensemble des solutions :