Equation diophantienne

[acoustica]

Bonjour à tous, voici un nouveau problème:
Résoudre l'équation diophantienne suivante dans N:

voilavoila, enjoy yourself! :happy2:

[Zweig]

Salut,

Les grandes lignes (sauf erreurs) :



Or, . On en déduit alors . On subtitue ça dans l'équation initial et on trouve quelques solutions.

[acoustica]

Salut,

Les grandes lignes (sauf erreurs) :



Or, . On en déduit alors . On subtitue ça dans l'équation initial et on trouve quelques solutions.

Zweig, on peut compter sur toi! :jap:
Tu propose un autre problème? :+++:

[Doraki]

Zweig,
(x²+x/2+1)² est plus grand que 1+x+x²+x³+x^4 à partir de x>0, donc ça permettrait de dire qu'il n'y a pas d'autre solution avec ton argument ?
Ton post dit un truc marrant quand on prend x impair.

Par contre, (x²+(x+1)/2)² est plus grand que 1+x+x²+x³+x^4 à partir de x>3 ça permet de dire qu'il n'y a que 2 solutions (x=0 et x=3)

[acoustica]

Zweig,
(x²+x/2+1)² est plus grand que 1+x+x²+x³+x^4 à partir de x>0, donc ça permettrait de dire qu'il n'y a pas d'autre solution avec ton argument ?
Ton post dit un truc marrant quand on prend x impair.

Par contre, (x²+(x+1)/2)² est plus grand que 1+x+x²+x³+x^4 à partir de x>3 ça permet de dire qu'il n'y a que 2 solutions (x=0 et x=3)

On a [TEX] (x^2+\frac{x}{2})3, donc pas de solutions.
Pour x=0, 1 ou 2 ou 3, c'est du cas par cas.
Cela répond-il à ta question? :happy2:

Edit: oups c'est exactement ce que tu viens d'écrire, dsl

Bon, bah...il aura pas duré longtemps celui-là

[acoustica]

Bon, tant pis je propose un petit truc pas sorcier:
Résoudre l'équation diophantienne dans Z:

voilavoila :we:

[Zweig]

Sauf erreurs :

L'équation n'admet donc aucune solution.

[leon1789]

Bon, tant pis je propose un petit truc pas sorcier:
Résoudre l'équation diophantienne dans Z:

voilavoila :we:

Solution 100% algébrique :

Soit a,b,c un triplet solution dans Z^3.
L'égalité force
Alors, en divisant par 5^4, il vient
donc a/5,b/5,c/25 est aussi solution dans Z^3.

Quels sont les entiers divisibles infiniment par 5 et/ou 25 ? il n'y a que 0.
D'où l'unique solution a=b=c=0

[leon1789]

PS : le même principe fonctionne aussi avec une réduction modulo 11 ! :id:

[acoustica]

L'égalité force

Tu peut détailler ce passage s'il te plait? Je ne comprend pas. Sinon, bonne idée la descente infinie. :id:

Sinon, ce n'est pas le plus efficace, avec une factorisation du type , c'est fini :++: . (mais le coup des modulos, je suis quand même curieux, ça peut être une bonne méthode à retenir)

[leon1789]

Tu peut détailler ce passage s'il te plait?

pour tout premier , on a ou bien . Ici, on prend p=5, si bien que les puissances 4-ièmes disparaissent littéralement, se transformant en 0 ou 1 !

Ensuite, modulo 5, .

Sinon, ce n'est pas le plus efficace, avec une factorisation du type , c'est fini.

Si, c'est mieux, mais il fallait le voir :zen:

[acoustica]

Si, c'est mieux, mais il fallait le voir :zen:

Après coup, oui c'est vrai c'est mieux
Merci pour le détail :happy2:

[leon1789]

Je propose une autre équation à résoudre sur Z :

Je la donne comme ça (je connais quand même le résultat), mais je ne sais pas ce qu'elle vaut niveau difficulté.

[acoustica]

d'où

donc pas de solution, sauf erreur de calcul.

[Doraki]

(1-b²)² = (1+b²)²-4b² = -a^4 +4a²b -4b² = -(a²-2b)²

Donc il faut 1-b² = a-2b = 0, donc b²=1 et a²=2b, et de là on voit qu'il n'y a pas de solution dans Z.

[leon1789]

oki :++: pas mieux de mon coté

[acoustica]

Allez, je poste mon dernier problème.
Trouver tous les nombres entiers positifs x et y de telle sorte que
:we:

[Zweig]

Les seuls couples solution sont (1,1) et (2,4). Je posterais ma solution plus tard.

[acoustica]

Les seuls couples solution sont (1,1) et (2,4). Je posterais ma solution plus tard.

C'est exact.

[acoustica]

Les seuls couples solution sont (1,1) et (2,4). Je posterais ma solution plus tard.

En attendant ta solution, c'est exact! :++: