Equa diophantienne

par **Help** » 17 Juil 2008, 15:36

En factorisant, j'arrive à

pour x=0, il y a la solution triviale y=0

En travaillant modulo 3 pour

, on a y ou (exclusif) y+2 multiple de 3 et donc
soit

soit

(1)

pour

on aura y(y+2)

donc pas de solution

(2)

et avec le même raisonnement, la seule solution est la solution "triviale" x=1 et y=1

Il n'y a pas de solution possible pour x

Donc les seules solutions sont (0;0) et (1;1)

par **Zweig** » 17 Juil 2008, 16:07

Ah bien, joli, je n'avais pas pensé à faire comme ça ! :happy2:

Une autre manière de faire :

Clairement,

.

L'équation se réécrit

Or

D'où

Clairement, si des solutions existent alors

, ce qui n'est vérifié, d'après l'inégalité, que pour

, c'est-à-dire

et

. On trouve alors

et

.

par **yos** » 17 Juil 2008, 22:42

Pour

je propose les couples

où y est un entier quelconque. Mais je peux essayer de compliquer un peu.

par **Zweig** » 17 Juil 2008, 23:07

x est premier ... or

n'est premier que pour y = 1 (ça s edémontre avec l'identité de Sophie Germain)

par **Zweig** » 18 Juil 2008, 01:34

Soient

,

et

des entiers naturels premiers.

Résoudre :

par **yos** » 18 Juil 2008, 13:08

Zweig a écrit:x est premier ...

Pas dans la seconde question.