Divisibilite par une puissance de 3

[_-Gaara-_]

Okok ;)

c'était juste une petite intuition :hein:

Cimer Albert :zen: :++:

[acoustica]

De rien Martin :ptdr: :ptdr:

[_-Gaara-_]

De rien Adrien :we: XD :ptdr:

[acoustica]

Ah, il y a plusieurs versions?

[Zweig]

Oups, desole Zweig, j'avais pas vu ton post: non, pour tout k, il existe n tel que divise et tel que ne divise pas et non ce que tu as ecris. J'espere que tu n'est pas en train de plancher sur un enonce errone.

Ok, voilà pourquoi je ne trouvais pas ! :marteau:

[_-Gaara-_]

Ah, il y a plusieurs versions?

ouais lol

dit de rien Adrien très vite tu verras c'est marrant :ptdr: :ptdr:

[acoustica]

ouais lol

dit de rien Adrien très vite tu verras c'est marrant :ptdr: :ptdr:

De rien Adrien

[_-Gaara-_]

De rien Adrien

lol oui ^^

à l'oral

[Zweig]

:!: Ca flood, ça flood

[acoustica]

Bizarre...je l'ai pourtant ecris tres vite :party:

[acoustica]

:!: Ca flood, ça flood

effectivement, je crois que tu as raison :zen:

[_-Gaara-_]

Bizarre...je l'ai pourtant ecris tres vite :party:

ptdr :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr: :ptdr:

XD

[nodgim]

Oh, et puis apres tout, je vais la poster maintenant ma demonstration squelettique (qui n'est pas la mienne puisque je suis aller regarder la solution apres avoir secher secher secher jusqu'a deshydratation totale :crane: :crane: :crane: ).

On raisonne par recurrence (sans blague?). Initialisation a k=2.
On considere la proposition vraie au rang k. On va utiliser pour construire un nouveau n, au rang suivant, le n du rang precedant.
On construit une famille de nombres en utilisant le n^3+17 du rang k (les nombres de cette famille sont susceptible de convenir pour n', au rang k+1). On montre que un nombre de cette famille est divisible par 3^(k+1). Si celui ci est divisible par 3^(k+2), alors on construit un autre n', en modifiant le precedant. Celui ci n'est pas divisible par 3^(k+2).
et c'est alors fini: le probleme est donc essentiellement calculatoire, et a mon humble avis, l'essentiel est surtout de savoir comment raisonner face a ce genre de probleme, que l'on rencontre peu frequemment.

Peut on savoir où est écrite la solution complète, ça serait sympa ?
Car il ne faut pas oublier qu'on peut aboutir sur une impasse (plus de solutions à partir d'un certain k), ce que je n'arrive pas à prouver :doh:
Merci d'avance.

[acoustica]

Peut on savoir où est écrite la solution complète, ça serait sympa ?
Car il ne faut pas oublier qu'on peut aboutir sur une impasse (plus de solutions à partir d'un certain k), ce que je n'arrive pas à prouver :doh:
Merci d'avance.

Tout a fait nodgim:


On raisonne par recurrence. Initialisation a k=2.
On considere la proposition vraie au rang k. On va utiliser pour construire un nouveau n, au rang suivant, le n du rang precedant.
On construit une famille de nombres en utilisant le du rang k (les nombres de cette famille sont susceptible de convenir pour n', au rang k+1).
On montre que un nombre de cette famille est divisible par . Si celui ci est divisible par , alors on construit un autre n', en modifiant le precedant. Celui ci n'est pas divisible par
et c'est alors fini

Voici donc le detail:

On utilise pour cela l'egalite:
Si est divisible par , alors n est congru a 1 modulo 3
n', a est notre variable, et peut valoir 0, 1 ou 2.
Si on pose , avec congru a 1 ou 2 mod 3. Selon que n cong 0, 1 ou 2 mod 3, on adapte avec a pour obtenir divisible par 3.
Si le n' que l'on vient de construire est divisible par alors est divisible par sans l'etre par
En effet, en posant ,
. non congru a 0 mod 3, car si tel etait le cas, n serait divisible pas 3, donc ne serait pas divisible par 3.


En esperant etre assez clair et ne pas avoir fait de faute (auquel cas, dis le!)
:we:

[nodgim]

Peut être plus simplement:
N^3+17 est divisible par 3 si N=3a+1 donc en remplaçant N par 3a +1:
3²(2+a+3(a²+a^3)). divisible par 3^3 si a=3b+1.

En continuant qq itérations, on trouve une formule générale:

3^k[(x1+v)+3(x2+2v)+9(x3+v)+.....3^y(xi+v+v²)......]
v étant les a,b, précédemment cités... et xi valant 0,1 ou 2.

Le premier v de l'expression est inexpugnable, on le retrouvera forcément avec 3^(k+1) (le second aussi, le troisième aussi....) et donc selon x1, on a toujours une solution, qui dépend uniquement du premier v.

[acoustica]

Peut être plus simplement:
N^3+17 est divisible par 3 si N=3a+1 donc en remplaçant N par 3a +1:
3²(2+a+3(a²+a^3)). divisible par 3^3 si a=3b+1.

En continuant qq itérations, on trouve une formule générale:

3^k[(x1+v)+3(x2+2v)+9(x3+v)+.....3^y(xi+v+v²)......]
v étant les a,b, précédemment cités... et xi valant 0,1 ou 2.

Le premier v de l'expression est inexpugnable, on le retrouvera forcément avec 3^(k+1) (le second aussi, le troisième aussi....) et donc selon x1, on a toujours une solution, qui dépend uniquement du premier v.

Dis moi si je me trompe, mais 3^k[(x1+v)+3(x2+2v)+9(x3+v)+.....3^y(xi+v+v²)..... est infini? Auquel cas, ca ne marcherait pas. Mais peut-etre que je dit n'importe quoi? :error:

[nodgim]

Dis moi si je me trompe, mais 3^k[(x1+v)+3(x2+2v)+9(x3+v)+.....3^y(xi+v+v²)..... est infini? Auquel cas, ca ne marcherait pas. Mais peut-etre que je dit n'importe quoi? :error:

Non, c'est un polynome fini. C'est simplement la réécriture de v^3+17 en base 3. Donc l'écriture initiale est, du poids faible vers le poids fort:
(2+v^3)+(2*3)+(1*9). Ensuite, on écrit v=3v+1, pour rendre divisible par 3, on développe, on reclasse selon les puissances de 3, et on passe à l'itération suivante. :hein:

[acoustica]

Mais oui, bien sur que ce n'est pas infini puisque on itere: N=3a+1, a=3b+1...ca ne peut que etre fini :mur:
En tout cas, je trouve ta demonstration elegante. :happy2: