Divisibilite par une puissance de 3

[acoustica]

Bonjour a tous,
Je vous propose un exercice d'arithmetique que je trouve plutot sympa:

Pour tout k superieur ou egal a 2, il existe n tel que n^3+17 soit divisible par 3^k et pas par 3^(k+1)

enjoy yourself! :++:

[_-Gaara-_]

Salut,

il faut faire quoi ? :hein:

PS: tu es accepté à Janson non ? :we:

[Zweig]

Fais pas l'imbécile, la question est sous-entendue :we:

[guigui51250]

Salut,

il faut faire quoi ? :hein:

PS: tu es accepté à Janson non ? :we:

à mon avis il faut trouver la valeur de n

enfin je crois

[_-Gaara-_]

Fais pas l'imbécile, la question est sous-entendue :we:

Euh excuse je ne suis pas fort..

[Zweig]

Non, il faut montrer que pour tout entier naturel , il existe un naturel tel que divise et que ne divise pas

[acoustica]

Il faut demontrer la proposition:
Pour tout superieur ou egal a 2, il existe n tel que soit divisible par et pas par

PS: tu es accepté à Janson non ? :we:

Oui, c'est Weensie qui te l'as dit? :salut:

[_-Gaara-_]

D'accord.

Oui c'est Weensie qui me l'a dit ^^

moi aussi Janson MPSI, cool de faire ta connaissance :++:

[guigui51250]

Non, il faut montrer que pour tout entier naturel , il existe un naturel tel que divise et que ne divise pas

et il faut trouver alors??

[acoustica]

Cool! Tu entres en sup c'est ca?

[_-Gaara-_]

Oui comme toi ^^

[acoustica]

Je reprend:

Montrer que pour tout k superieur ou egal a 2, il existe n tel que n^3+17 soit divisible par 3^k et pas par 3^(k+1)

[acoustica]

Oui comme toi ^^

C'est cool ca.

J'est appris un truc recemment, il y a un prof a Janson qui est redacteur en chef de Tanjente Magazine, dans lequel est propose ce beau probleme.

[_-Gaara-_]

Aha donc tu lis Tangente ^^

c'est cool !!

(on continue à parler en MP sinon on va nous gronder :we: :we: )

[acoustica]

Ca n'attire pas les foules a ce que je vois...
C'est vrai que il y a beaucoup de gens en vacances, dont evidemment ca bouge moins.
Pour le probleme, si dans deux jours ca n'avance pas plus, je donnerais le squelette :crane: de la demonstration: il faut quand meme un renouvelement frequent des problemes.

[_-Gaara-_]

Ca n'attire pas les foules a ce que je vois...
C'est vrai que il y a beaucoup de gens en vacances, dont evidemment ca bouge moins.
Pour le probleme, si dans deux jours ca n'avance pas plus, je donnerais le squelette :crane: de la demonstration: il faut quand meme un renouvelement frequent des problemes.

en ce qui me concerne je pinaille lol
tu as un indice ? même squelettique lol

[acoustica]

Oh, et puis apres tout, je vais la poster maintenant ma demonstration squelettique (qui n'est pas la mienne puisque je suis aller regarder la solution apres avoir seché seché seché jusqu'a deshydratation totale :crane: :crane: :crane: ).

On raisonne par recurrence (sans blague?). Initialisation a k=2.
On considere la proposition vraie au rang k. On va utiliser pour construire un nouveau n, au rang suivant, le n du rang precedant.
On construit une famille de nombres en utilisant le n^3+17 du rang k (les nombres de cette famille sont susceptible de convenir pour n', au rang k+1). On montre que un nombre de cette famille est divisible par 3^(k+1). Si celui ci est divisible par 3^(k+2), alors on construit un autre n', en modifiant le precedant. Celui ci n'est pas divisible par 3^(k+2).
et c'est alors fini: le probleme est donc essentiellement calculatoire, et a mon humble avis, l'essentiel est surtout de savoir comment raisonner face a ce genre de probleme, que l'on rencontre peu frequemment.

[acoustica]

Non, il faut montrer que pour tout entier naturel , il existe un naturel tel que divise et que ne divise pas

Oups, desole Zweig, j'avais pas vu ton post: non, pour tout k, il existe n tel que divise et tel que ne divise pas et non ce que tu as ecris. J'espere que tu n'est pas en train de plancher sur un enonce errone.

[_-Gaara-_]

loool merci pour l'indice XD
par hasard, ça porte pas le nom de "principe de récurrence forte" ?

:hein:

[acoustica]

loool merci pour l'indice XD
par hasard, ça porte pas le nom de "principe de récurrence forte" ?

:hein:

Dans la recurrance forte, on suppose que la propriete est verifiee tout les rangs strictement avant k+1. Dans la recurrance pas forte, on considere que c'est au rang avant k la propriete est verifiee. Ici, c'est plutot la recurrance pas forte.