Des carrés magiques : un problème vieux de plus de 200 ans

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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fatal_error
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par fatal_error » 18 Sep 2012, 16:11

Du concret oui : indique une méthode convergeant plus rapidement que quelques minutes vers un carré !
De façon moins immédiate mais systématique, les articles cités précédemment en lien offrent des indices.

ouais le concret c'est que tu dis du vent, et que t'es incapable de faire un truc toi meme. Et sinon c'est quand que tu cites bourbaki et pourquoi pas le figaro?? :ptdr:
la vie est une fête :)



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chan79
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par chan79 » 18 Sep 2012, 16:20

Dlzlogic a écrit:Je vais être "hors sujet", puisqu'il ne s'agit pas de "carré", mais j' en cliquant sur le bouton en bas à gaucheai eu un problème très intéressant concernant les nombres. Voila, en gros et de mémoire de quoi il s'agissait.
On cherche à représenter un graphisme zonal. La contrainte est le suivante : toutes les lignes sont des segments de hachures parallèles. Par exemple, pour représenter des triangles il y aura 3 réseaux de hachures. La difficulté réside naturellement dans le fait que les extrémités des segments doivent être confondus pour chacun des triangles dessinés. Le triangle n'est cité qu'à titre d'exemple simple.

Si ça intéresse quelqu'un, je peux ressortir mes archives.

intéressant et geogebra est bien adapté pour ça
un lien vers un dessin à animer en cliquant sur le bouton en bas à gauche
le triangle est déformable

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chan79
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par chan79 » 18 Sep 2012, 16:24

Dlzlogic a écrit:Je vais être "hors sujet", puisqu'il ne s'agit pas de "carré", mais j'ai eu un problème très intéressant concernant les nombres. Voila, en gros et de mémoire de quoi il s'agissait.
On cherche à représenter un graphisme zonal. La contrainte est le suivante : toutes les lignes sont des segments de hachures parallèles. Par exemple, pour représenter des triangles il y aura 3 réseaux de hachures. La difficulté réside naturellement dans le fait que les extrémités des segments doivent être confondus pour chacun des triangles dessinés. Le triangle n'est cité qu'à titre d'exemple simple.

Si ça intéresse quelqu'un, je peux ressortir mes archives.

Dlzlogic a écrit:Je vais être "hors sujet", puisqu'il ne s'agit pas de "carré", mais j' en cliquant sur le bouton en bas à gaucheai eu un problème très intéressant concernant les nombres. Voila, en gros et de mémoire de quoi il s'agissait.
On cherche à représenter un graphisme zonal. La contrainte est le suivante : toutes les lignes sont des segments de hachures parallèles. Par exemple, pour représenter des triangles il y aura 3 réseaux de hachures. La difficulté réside naturellement dans le fait que les extrémités des segments doivent être confondus pour chacun des triangles dessinés. Le triangle n'est cité qu'à titre d'exemple simple.

Si ça intéresse quelqu'un, je peux ressortir mes archives.

intéressant et geogebra est bien adapté pour ça
un lien vers un dessin à animer en cliquant sur le bouton en bas à gauche
le triangle est déformable

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chan79
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par chan79 » 18 Sep 2012, 16:30

Dlzlogic a écrit:Je vais être "hors sujet", puisqu'il ne s'agit pas de "carré", mais j'ai eu un problème très intéressant concernant les nombres. Voila, en gros et de mémoire de quoi il s'agissait.
On cherche à représenter un graphisme zonal. La contrainte est le suivante : toutes les lignes sont des segments de hachures parallèles. Par exemple, pour représenter des triangles il y aura 3 réseaux de hachures. La difficulté réside naturellement dans le fait que les extrémités des segments doivent être confondus pour chacun des triangles dessinés. Le triangle n'est cité qu'à titre d'exemple simple.

Si ça intéresse quelqu'un, je peux ressortir mes archives.

Intéressant
Geogebra est bien adapté pour représenter ce genre de dessin.
Un lien vers un triangle hachuré, à animer en cliquant sur le bouton en bas à gauche. Le triangle est déformable.
Tu peux mettre ta doc, Dlzlogic :zen:

Deliantha
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par Deliantha » 18 Sep 2012, 16:37

fatal_error a écrit:ouais le concret c'est que tu dis du vent, et que t'es incapable de faire un truc toi meme. Et sinon c'est quand que tu cites bourbaki et pourquoi pas le figaro?? :ptdr:


J'ai mis en cuvée mes carrés alors n'abuse pas trop du cubi. Hypergeo fait la figuration cartographique.
Quant aux logiciels traceurs de courbe, il y en a pléthore en ligne par n'importe quel moteur (à charger)...

beagle
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par beagle » 18 Sep 2012, 16:55

Sur du 3x3 avec 200 premiers nombres,
on scinde le problème en deux matrices:
celle des unités
celle des dizaines

attention, pour les dizaines dans l'exemple de Deliantha, une diago est en 3x7 qui donnera +1 par rapports aux autres rangées colonnes et l'autre diago

matrice des unités,
à mon avis elles sont peu nombreuses

matrice des dizaines,
soit les matrices les plus petites existantes (on peut répéter 3 fois le mème nombre),
alors ne peut-on en déduire l'expression des suivantes?

then réunion de deux matrices unités+dizaines,
then on enlève quand ce ne sont pas des nombres premiers.

C'est pas du boulot pour du matlab ou apparenté?
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

beagle
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par beagle » 18 Sep 2012, 17:01

Pas eu le temps de faire mes commentaires sur le carré de 4x4 avec 1à8x2.

Bravo à Chan, pour le nombre , et pour le détail de la classification des 1-trucs, 2-machins,...
Bravo à Le Jeu qui est bien revanu.
Bravo à Fatal-errror parti un peu tard, mais tant mieux, cela nous a obligé à réfléchir.
bravo à Dlzlogic, bien essayé, dommage d'échouer sur la partie géométrique vu les compétences dans ce domaine, trop de concentrations sur la partie informatique?
Bravo à Doraki, toutjours partisan du moindre effort, un vrai mathématicien quoi,
sa division non par 8 mais par 32, chapeau!
Bravo à Delanthia, on a bien squatté son fil...

je n'ai pas eu le temps de répondre sur structure.
Je suis encore à bosser à mon rythme dessus, donc je mets juste la structure régulière dans message suivant.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Dlzlogic
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par Dlzlogic » 18 Sep 2012, 17:05

chan79 a écrit:Intéressant
Geogebra est bien adapté pour représenter ce genre de dessin.
Un lien vers un triangle hachuré, à animer en cliquant sur le bouton en bas à gauche. Le triangle est déformable.
Tu peux mettre ta doc, Dlzlogic :zen:

Je joins un pdf qui montre 3 états de la même image.
L'outil en question n'est qu'un éditeur, la partie gauche représente le dessin élémentaire, la partie droite, une visualisation du résultat réel. Dans cette fenêtre, les 2 vecteurs servent à orienter les axes de référence.
Le dessin élémentaire et la façon de le représentés sont stockée dans un petit fichier texte
*MotifEss05, Motif de hachure samedi 10 juin 2006 17:55:30
53.594184424,0.0925,0.4683,24.758145445,0.186019848,0.35957,-114.160879844
305.062877190,0.5000,0.8758,213.411489539,0.136751097,0.39694,-232.875821108
227.524584756,0.7174,0.5634,62.627366392,0.111929709,0.50321,-284.499817651
137.876482121,0.3868,0.2057,20.470614377,0.907635835,0.39751,-28.470631786
269.383430148,0.9664,0.9664,11.363278251,0.134976495,0.91020,-137.882072876
358.522753263,0.0291,0.9664,69.518795155,0.129344854,0.93737,-245.692511215
180.000000000,0.9574,0.0698,87.741907074,0.154135981,0.90113,-206.030870462

Ce type de fichier est "normalisé" et utilisé par des logiciels.
http://www.dlzlogic.com/EditePat.pdf

Le dessin lui-même n'a aucun intérêt, il s'agit d'un dessin utilisé pour mise au point.
Je n'ai plus tout dans ma mémoire, mais j'ai tout dans celle de ma machine.

beagle
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par beagle » 18 Sep 2012, 17:11

Pour le 4x4
une matrice avec du 0 et 1, on place le 1 en vertical:
1010
1010
0101
0101
une matrice est en deux fois du 0-1 sur du horizontal
0011
1100
0011
1100
cela donne en x2
0022
2200
0022
2200

somme des deux matrices
1032
3210
0123
2301

si on fait du +1 pour repasser sans les zéros
2143
4321
1234
3412

il nous reste à dédoubler ce truc.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

beagle
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par beagle » 18 Sep 2012, 17:18

troisième matrice qui sera avec les 1 en direction diagonale
0110
1001
0110
1001
cette matrice est fois 4
0440
4004
0440
4004

on ajoute à la matrice réunion des deux premières
2583
8325
1674
7416
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

C.Ret
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par C.Ret » 18 Sep 2012, 18:08

Dlzlogic a écrit:Concernant le nombre 1 (l'unité), autrefois, il me semble que c'était un nombre premier. Aurait-il perdu ce statut ? Quelle en est la raison ?


Ben oui, on m'avais expliqué qu'un nombre premier n'avait pas d'autre facteur que 1 et lui-même.
C'est bien le cas avec 1, qui n'a pas d'autre facteur que lui-même et 1.
Mais, bon à chaque époque ses définitions.


Voici les carrés magiques constitués de nombre premiers (donc sans le 1), inférieurs à 200, sans répétition:

Code: Tout sélectionner
     Idt             Sd              Sv              ShSa            SaSh            Sh              Sa              SvSh
                               
S= 177                             
  17  89  71      17 113  47      71  89  17      71   5 101      47 113  17      47  29 101     101   5  71     101  29  47
 113  59   5      89  59  29       5  59 113      89  59  29      29  59  89     113  59   5      29  59  89       5  59 113
  47  29 101      71   5 101     101  29  47      17 113  47     101   5  71      17  89  71      47 113  17      71  89  17
S= 267                             
  29 131 107      29 167  71     107 131  29     107  11 149      71 167  29      71  47 149     149  11 107     149  47  71
 167  89  11     131  89  47      11  89 167     131  89  47      47  89 131     167  89  11      47  89 131      11  89 167
  71  47 149     107  11 149     149  47  71      29 167  71     149  11 107      29 131 107      71 167  29     107 131  29
S= 219                             
  37  79 103      37 139  43     103  79  37     103   7 109      43 139  37      43  67 109     109   7 103     109  67  43
 139  73   7      79  73  67       7  73 139      79  73  67      67  73  79     139  73   7      67  73  79       7  73 139
  43  67 109     103   7 109     109  67  43      37 139  43     109   7 103      37  79 103      43 139  37     103  79  37
S= 213                             
  41  89  83      41 113  59      83  89  41      83  29 101      59 113  41      59  53 101     101  29  83     101  53  59
 113  71  29      89  71  53      29  71 113      89  71  53      53  71  89     113  71  29      53  71  89      29  71 113
  59  53 101      83  29 101     101  53  59      41 113  59     101  29  83      41  89  83      59 113  41      83  89  41
S= 309                             
  43 127 139      43 199  67     139 127  43     139   7 163      67 199  43      67  79 163     163   7 139     163  79  67
 199 103   7     127 103  79       7 103 199     127 103  79      79 103 127     199 103   7      79 103 127       7 103 199
  67  79 163     139   7 163     163  79  67      43 199  67     163   7 139      43 127 139      67 199  43     139 127  43

Matrice non première:
S= 111                             
   7  61  43       7  73  31      43  61   7      43   1  67      31  73   7      31  13  67      67   1  43      67  13  31
  73  37   1      61  37  13       1  37  73      61  37  13      13  37  61      73  37   1      13  37  61       1  37  73
  31  13  67      43   1  67      67  13  31       7  73  31      67   1  43       7  61  43      31  73   7      43  61   7



La méthode est simple, elle consiste dans un premier temps à dresser la liste des nombres premiers inférieurs à 200.

Ensuite, c'est une recherche un peu bête à partir de trois de ces nombres premiers, sans le 2 tout de même.

En effet, tous les nombres premiers, sauf 2, sont impairs. Comme on fait une somme à trois nombres dans les carrés 3x3, la somme magique est nécessairement impaire (impair+impair = pair et impair + pair = impair).

Donc, si l'on incorpore 2, on a un problème de parité, il n'y aura aucun carré magique 3x3 contenant le nombre premier 2.


Ensuite, il y a donc 45 premiers à "tester", je le fais par ordre croissant.
Pour éviter de compter deux fois les mêmes carrés, j'impose c>a.

Le carré est donc de la forme :
[ a b c ]
[ d e f ]
[ g h i ]
avec S = a+b+c

Comme je ne dispose que d'un Commodore C128D ( 128ko - 2 MHz - 8bits ) pour faire le travail j'utilise un minimum de boucles (trois en fait).

Au début de l'analyse, je pensais en faire une quatrième sur e. Mais c'est inutile.

Considérons que les varaible sont a,b,c et e.

A chaque itération de ma recherche de solution, je peux calculer à partir de a,b,c et e les autres "cases du carré" :

On a : S= a+e+i
Donc on peut exprimer i en fonction de S,a et e
i = S - a - e

De même pour les autres case de la ligne inférieure :
g = S - c - e
h = S - b - e
i = S - a - e

Ma première idée était donc de calculer ainsi g h i pour chaque quadruplet { a b c e }

Mais, on sait que
S = g + h + i
S = S - c - e + S - b - e + S - a - e
S = S - (a+b+c) + 3.e

Or a+b+c=S, on a donc :
S = S - S + 3.e

On retrouve bien la relation utilisée par Chan79: S=3.e

En fait, il ne sert à rien de chercher les valeurs de e, il faut juste prendre a b et c de telle façon que S=a+b+c soit un multiple par trois d'un des nombres premiers (qui sera donc e).

C'est donc ce que fait mon modeste programme en BASIC qui tourne sur une machine qui a déjà fêté ses 30 ans de loyaux services.

Deux boucles sur a et b sélectionnent séquentiellement les nombres premiers de la liste.
Une boucle supplèmentaire permet de retenir les c tel que e = S/3 = (a+b+c)/3 soit un nombre premier de la liste.

On a alors les quatres variables a b c et e

Le programme calcule (à l'aide de relation utilisant S et les 4 variables) alors successivement i h g d et f dans cet ordre et en passant au c suivant dès que l'un des calculs donne un nombre :
- qui n'est pas un des nombres premier de la liste,
- qui est déjà utilisé dans le carré,
- qui produit un carré symétrique.
- qui ne vérifie pas une relation de somme (la seule a tester est en en fait d+e+f=S)
En particulier, par construction je prends toujours c>a. Il faut aussi surveiller que i>a, g<c et g<a

L'astuce du programme consite à effectuer ces test dans l'ordre et sans perdre de temps. Dès qu'un des nombre est impssible, on teste le c suivant.

Et si l'on arrive au dernier c possible, on boucle sur b puis sur a.

Avec un tel algorithme, sans compiler le programme, un ordinosaure 8bits à 2 MHz de 1982 met environ 1h30 pour imprimer les carrés.



Par contre j'ai une question qui concerne les répétition. En autorisant (une fois) la répérition des nombre premier, pourquoi je n'obtient pas plus de carré magique. Alors que le même programme, en autorisant deux fois chaque répétition produit une quasi infinité de carré magique contenant trois fois chaque nombre premier ?

Question un peu bête. Mais je n'en trouve pas la raison ? Alors qu'avec d'autre nombre (que les nombres premiers), on peut trouver bien plus de solutions en autorisant (même une seule fois) les répétitions!?!

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chan79
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par chan79 » 18 Sep 2012, 19:25

C.Ret a écrit:Ben oui, on m'avais expliqué qu'un nombre premier n'avait pas d'autre facteur que 1 et lui-même.
C'est bien le cas avec 1, qui n'a pas d'autre facteur que lui-même et 1.
Mais, bon à chaque époque ses modes.


Voici les carrés magiques constitués de nombre premiers (donc sans le 1), inférieurs à 200, sans répétition:

Code: Tout sélectionner
     Idt             Sd              Sv              ShSa            SaSh            Sh              Sa              SvSh
                               
S= 177                             
  17  89  71      17 113  47      71  89  17      71   5 101      47 113  17      47  29 101     101   5  71     101  29  47
 113  59   5      89  59  29       5  59 113      89  59  29      29  59  89     113  59   5      29  59  89       5  59 113
  47  29 101      71   5 101     101  29  47      17 113  47     101   5  71      17  89  71      47 113  17      71  89  17
S= 267                             
  29 131 107      29 167  71     107 131  29     107  11 149      71 167  29      71  47 149     149  11 107     149  47  71
 167  89  11     131  89  47      11  89 167     131  89  47      47  89 131     167  89  11      47  89 131      11  89 167
  71  47 149     107  11 149     149  47  71      29 167  71     149  11 107      29 131 107      71 167  29     107 131  29
S= 219                             
  37  79 103      37 139  43     103  79  37     103   7 109      43 139  37      43  67 109     109   7 103     109  67  43
 139  73   7      79  73  67       7  73 139      79  73  67      67  73  79     139  73   7      67  73  79       7  73 139
  43  67 109     103   7 109     109  67  43      37 139  43     109   7 103      37  79 103      43 139  37     103  79  37
S= 213                             
  41  89  83      41 113  59      83  89  41      83  29 101      59 113  41      59  53 101     101  29  83     101  53  59
 113  71  29      89  71  53      29  71 113      89  71  53      53  71  89     113  71  29      53  71  89      29  71 113
  59  53 101      83  29 101     101  53  59      41 113  59     101  29  83      41  89  83      59 113  41      83  89  41
S= 309                             
  43 127 139      43 199  67     139 127  43     139   7 163      67 199  43      67  79 163     163   7 139     163  79  67
 199 103   7     127 103  79       7 103 199     127 103  79      79 103 127     199 103   7      79 103 127       7 103 199
  67  79 163     139   7 163     163  79  67      43 199  67     163   7 139      43 127 139      67 199  43     139 127  43

Matrice non première:
S= 111                             
   7  61  43       7  73  31      43  61   7      43   1  67      31  73   7      31  13  67      67   1  43      67  13  31
  73  37   1      61  37  13       1  37  73      61  37  13      13  37  61      73  37   1      13  37  61       1  37  73
  31  13  67      43   1  67      67  13  31       7  73  31      67   1  43       7  61  43      31  73   7      43  61   7



La méthode est simple, elle consiste dans un premier temps à dresser la liste des nombres premiers inférieur à 200.

Ensuite, c'est une recherche un peu bête à partir de trois de ces nombres premiers, sans le 2 tout de même.

En effet, tous les nombres premiers, sauf 2, sont impairs. Comme on fait une somme à trois nombre dans les carré 3x3, la somme magique est nécessairement impaire (impair+impair = pair et impair + pair = impair).

Donc, si l'on incorpore 2, on a un problème de parité, il n'y aura aucun carré magique 3x3 contenant le nombre premier 2.


Ensuite, il y a donc 45 premiers à "tester", je le fais par ordre croissant.
Pour éviter de compter deux fois les mêmes carrés, j'impose c>a.

Le carré est donc de la forme :
[ a b c ]
[ d e f ]
[ g h i ]
avec S = a+b+c

Comme je ne dispose que d'un Commodore C128D ( 128ko - 2 MHz - 8bits ) pour faire le travail je vais utiliser un minimum de boucles (trois en fait).

AU début de l'analyse, je penser en faire une quatrième sur e. Mais c'est inutile.

COnsidérons que les varaible sont a,b,c et e.

A chaque itération de ma recherche de solution, je peux calculer à partir de a,b,c et e les autres "cases du carré" :

On a : S= a+e+i
Donc on peut exprimer i en fonction de S,a et e
i = S - a - e

De même pour les autres case de la ligne inférieure :
g = S - c - e
h = S - b - e
i = S - a - e

Ma première idée était donc de calculer ainsi g h i pour chaque quadruplet { a b c e }

Mais, on sait que
S = g + h + i
S = S - c - e + S - b - e + S - a - e
S = S - (a+b+c) + 3.e

Or a+b+c=S, on a donc :
S = S - S + 3.e

En fait, il ne sert à rien de chercher les valeur de e, il faut juste prendre a b et c de telle façon que S=a+b+c soit un multiple de trois d'un des nombre premiers e.

C'est donc c que fait mon modeste programme, en BASIC qui tourne sur une machine qui a déjà fêté ses 31 ans de loyaux services.

Deux boucles sur a et b sélectionne séquentiellement les nombre premiers.
Un boucle supplèmentaire permet de retenir les c tel que e = S/3 = (a+b+c)/3 soit des nombre premier.

On a alors les quatres varaibles a b c et e

Le programme calcule alors successivement i h g d et f dans cet ordre et en passant au c suivant dès que l'un des calculs donne un nombre :
- qui n'est pas un des nombre premier possible
- qui est déjà utilisé dans le carré
- qui produit un carré symétrique. En particulier, par construction je prends toujours c>a. Il faut aussi surveiller que i>a, g<c et g<a

L'astuce du programme consite à effectuer ces test dans l'ordre et sans perdre de temps. Dès qu'un des nombre est impssible, on teste le c suivant.
Et si l'on arrive au dernier c possible, on boucle sur b puis sur a.

Avec un tel algorithme, sans compiler le programme, un ordinosaure 8bits à 2 MHz met environ 1h30 pour imprimer les carrés.

oui, j'ai fait comme ça, grosso modo.
Ca n'en fait donc que 5 vraiment différents ( fameuse division par 8)
En prenant les inférieurs à 300, j'arrive à 15.

Deliantha
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Des modèles de carrés

par Deliantha » 18 Sep 2012, 19:31

C.Ret a écrit:Avec un tel algorithme, sans compiler le programme, un ordinosaure 8bits à 2 MHz met environ 1h30 pour imprimer les carrés.


C.Ret, la démonstration vaut son pesant et valide l'usage de l'informatique calculatoire en tant qu'aide.

Revenons à la théorie, devant nous permettre de converger vers la résolution de carrés de carrés 3X3.

M3 est un sous ev. des matrices réelles 3X3, sous la forme : H=aU+bV+cW où {U,V,W} est une base.

Les formules génériques de Lucas en définissent l'ensemble des valeurs possibles avec leurs équations.

LeJeu
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par LeJeu » 18 Sep 2012, 20:29

Deliantha a écrit:C.Ret, la démonstration vaut son pesant et valide l'usage de l'informatique calculatoire en tant qu'aide.

Revenons à la théorie, devant nous permettre de converger vers la résolution de carrés de carrés 3X3.

M3 est un sous ev. des matrices réelles 3X3, sous la forme : H=aU+bV+cW où {U,V,W} est une base.

Les formules génériques de Lucas en définissent l'ensemble des valeurs possibles avec leurs équations.

Très cher Deliantha,

Je pense qu tu as mal lu C.ret, il pose comme dans Lucas
A = a+b
B = a-b-c
C = a+c
pour arriver à la casez centrale a = (A+B+C )/3

Mais pour le cas qui nous concerne, c'est mieux car il peut attaquer en choisissant A B C premiers, c'est un départ particulièrement adapté au problème

Donc l'informatique avait bien embarqué la théorie ... .

Sinon en plus C-Ret donne le résultat, je veux dire le bon :-)

Deliantha
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Mes carrés de carrés au cube et à l'hypercube étendus...

par Deliantha » 19 Sep 2012, 10:24

LeJeu a écrit:
Donc l'informatique avait bien embarqué la théorie ... .

Sinon en plus C-Ret donne le résultat, je veux dire le bon :-)


Enterrons la solution avant l'heure si on y tient, mais le problème vieux de 200 ans demeure ouvert..-:)

beagle
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par beagle » 19 Sep 2012, 10:53

Le Jeu dit c'est bon pour C.Ret sur Chan's problem.
Et Deliantha à l'origine du fil, reviens à la charge sur:
"Revenons à la théorie, devant nous permettre de converger vers la résolution de carrés de carrés 3X3."

Je suis hors jeu sur un tel problème,
j'ai pas les notions de maths pour bidouiller à la main,
j'ai pas les notions d'informatique pour bidouiller un programme,
et je n'ai pas non plus les deux ensemble.
Mais Deliantha met la barre un peu haut, c'est pas les problèmes pour s'initier.M'enfin!
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.

Alannaria
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Aux carrés d'as censeurs...

par Alannaria » 19 Oct 2012, 02:46

Quelqu'un s'est-il amusé à dénicher ou dériver ses carrés de carrés (non) magiques d'ordre n=3 (et plus) ?

 

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