Vecteurs magiques

par **Imod** » 03 Juil 2007, 18:12

Un petit exercice avec très peu de calcul mais pas si simple :zen:

On considère un carré magique de côté

( i.e: dans chaque case figure une et une seule fois chaque entier de 1 à

et la somme de chaque ligne , de chaque colonne , de chacune des deux grandes diagonales , est identique ) . On note

le vecteur d'origine le centre de la case contenant

et d'extrémité le centre de la case contenant

. Calculer la somme de tous les vecteurs

pour

.

Imod

par **kazeriahm** » 03 Juil 2007, 19:49

on fixe i une bonne fois pour toute et on calcule la somme à partir de là?

par **Imod** » 03 Juil 2007, 22:19

kazeriahm a écrit:on fixe i une bonne fois pour toute et on calcule la somme à partir de là?

Non , on effectue la somme pour toutes les valeurs de

.

Imod

P.S : merci , je corrige dans le premier message :we:

par **kazeriahm** » 06 Juil 2007, 11:36

ben je dirai 0 (vecteur) parce que je vois pas ce que ca pourrait etre d'autre :we:

par **aviateurpilot** » 06 Juil 2007, 20:09

je pense qui si on prend

on aura

avec

la symetrie centrale de centre (centre du carré).
donc ce cas on aura bien

.

par **Imod** » 06 Juil 2007, 22:23

aviateurpilot a écrit:je pense qui si on prend
on aura avec la symetrie centrale de centre (centre du carré).
donc ce cas on aura bien .

S(E)=E et la somme des vecteurs de E et de S(E) sont opposées , de là à dire qu'elles sont nulles ....

Imod

par **Imod** » 10 Juil 2007, 17:13

Un indice pour ceux qui sont intéressé . On choisit un point O fixe , alors chaque

peut s'écrire :

. On peut alors exprimer la somme à l'aide des

et regarder ce qui se passe si on ne somme que sur les indices d'une ligne ou d'une colonne .

Imod

par **prody-G** » 12 Juil 2007, 21:41

ça a l'air super intéressant ! mais je comprends pas le rapport avec le carré magique...

par **Imod** » 13 Juil 2007, 09:35

Un dernier indice , il faut étudier les composantes horizontales et verticales de la somme ( en supposant les lignes du quadrillage horizontales ) .

Imod

par **Imod** » 02 Aoû 2007, 18:36

Un petit "up" pour ceux qui n'auraient pas vu l'exercice .

Imod

par **yos** » 05 Aoû 2007, 09:09

Salut.
Pour i fixé, le vecteur

apparait avec le coefficient

dans la somme S cherchée. En choisissant O au centre du carré, la somme des

est nulle, de sorte que

où G est le barycentre des points

. On utilise l'associativité du barycentre, avec les barycentres partiels des colonnes qui se trouvent tous affectés de la même masse (magie du carré). Il s'ensuit que G est sur la verticale passant par O. En travaillant avec les lignes, on voit que G est sur l'horizontale passant par O. Finalement G=O et

.

par **Imod** » 05 Aoû 2007, 09:25

Bien joué yos :++: C'est à quelques détails près l'idée que j'avais suivie .

Imod

par **kazeriahm** » 12 Aoû 2007, 17:54

il me semble que la démo n'utilise pas le fait que la somme des termes diagonaux du carré doit etre égale à ... ?!

par **Imod** » 12 Aoû 2007, 19:30

kazeriahm a écrit:il me semble que la démo n'utilise pas le fait que la somme des termes diagonaux du carré doit etre égale à ... ?!

En effet , c'était juste un nuage de fumée pour tromper l'ennemi :zen:
Plus sérieusement dans l'exercice original , on parle uniquement des lignes et des colonnes . J'ai trouvé plus "amusant" de m'intéresser plus précisément aux carrés magiques que tout le monde connait , les diagonales n'aident pas et elles peuvent même perturber : l'exercice n'en est que meilleur :we:

Imod

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