Cycles à 4 chiffres (ou 3, ou 5)

[hammana]

Puisque la tendance en ce moment est aux chiffres, je propose le problème suivant:
Trouver 4 chiffres tels que la différence entre le nombre maximum et le nombre minimum écrits avec ces chiffres, s'écrive avec les mêmes chiffres.
On peut essayer d'abord avec 3 chiffres, c'esst très facile.
Avec un ordinateur on peut voir ce qui se passe avec 5 chiffres.

[chan79]

Puisque la tendance en ce moment est aux chiffres, je propose le problème suivant:
Trouver 4 chiffres tels que la différence entre le nombre maximum et le nombre minimum écrits avec ces chiffres, s'écrive avec les mêmes chiffres.
On peut essayer d'abord avec 3 chiffres, c'esst très facile.
Avec un ordinateur on peut voir ce qui se passe avec 5 chiffres.

salut
7641-1467=6174

[hammana]

salut
7641-1467=6174

C'est rapide !!!
pas d'autre commentaire sur la question ?

[chan79]

C'est rapide !!!
pas d'autre commentaire sur la question ?

ah oui, le plus important: 0000-0000=0000 :zen:

[LeJeu]

On peut essayer d'abord avec 3 chiffres, c'est très facile.
Avec un ordinateur on peut voir ce qui se passe avec 5 chiffres.

Avec 3 chiffres :

954 -459 = 495

Qui en fait se révèle être une véritable mine d'or :
995544 - 445599 = 549945
999555444 - 444555999 = 554999445
....

[hammana]

Avec 3 chiffres :

954 -459 = 495

Qui en fait se révèle être une véritable mine d'or :
995544 - 445599 = 549945
999555444 - 444555999 = 554999445
....

L'operation qui consiste à passer d'un nombre qque (limitons nous pour le moment aux nombres de 4 chiffres au plus) au nombre obtenu en faisant la difference du max et du min des nombres écrits avec les mêmes chiffres peut être assimilée à une fonction que j'appelle p. ex. conv(x) (noter qu'elle est surjective). Ainsi le nombre 1467 est solution de l'équation x=conv(x). Il s'agit d'étudier les propriétés de cette fonction pour suggérer une méthode de résolution.

Est-ce que Chan peut nous dire comment il est arrivé à sa solution.
Je reprendrai la discussion après les vacances.

[chan79]

L'operation qui consiste à passer d'un nombre qque (limitons nous pour le moment aux nombres de 4 chiffres au plus) au nombre obtenu en faisant la difference du max et du min des nombres écrits avec les mêmes chiffres peut être assimilée à une fonction que j'appelle p. ex. conv(x) (noter qu'elle est surjective). Ainsi le nombre 1467 est solution de l'équation x=conv(x). Il s'agit d'étudier les propriétés de cette fonction pour suggérer une méthode de résolution.

Est-ce que Chan peut nous dire comment il est arrivé à sa solution.
Je reprendrai la discussion après les vacances.

J'avoue, je l'ai fait avec l'ordinateur, c'est tellement rapide...
Evidemment, si c'était des nombres à 50 chiffres .....
Sinon, pour 6 chiffres, il y a aussi: 766431-134667=631764

[LeJeu]

J'avoue, je l'ai fait avec l'ordinateur, c'est tellement rapide...
Evidemment, si c'était des nombres à 50 chiffres .....
Sinon, pour 6 chiffres, il y a aussi: 766431-134667=631764

Tu as raison Chan, s'il faut implémenter des additions sur des grands nombre ça va devenir compliqué : il vaut mieux le faire à la main

quatre chiffres
7641-1467=6174

6 chiffres
766431-134667=631764
Il y a comme un air de famille...
766431-134667=631764

et le 8
7 66 64 33 1 - 1 33 46 66 7 = 6 33 17 66 4

et le 10
7 666 64 333 1 - 1 333 46 666 7 = 6 333 17 666 4

et le 50
7 66666666666666666666666 64 33333333333333333333333 1 -
1 33333333333333333333333 46 66666666666666666666666 7 =
6 33333333333333333333333 17 66666666666666666666666 4


A propos, ca n'a rien à voir mais 10 ^50 est environ l'estimation proposée pour le nombre de positions possibles aux échecs.....

[chan79]

Tu as raison Chan, s'il faut implémenter des additions sur des grands nombre ça va devenir compliqué : il vaut mieux le faire à la main

quatre chiffres
7641-1467=6174

6 chiffres
766431-134667=631764
Il y a comme un air de famille...
766431-134667=631764

et le 8
7 66 64 33 1 - 1 33 46 66 7 = 6 33 17 66 4

et le 10
7 666 64 333 1 - 1 333 46 666 7 = 6 333 17 666 4

et le 50
7 66666666666666666666666 64 33333333333333333333333 1 -
1 33333333333333333333333 46 66666666666666666666666 7 =
6 33333333333333333333333 17 66666666666666666666666 4


A propos, ca n'a rien à voir mais 10 ^50 est environ l'estimation proposée pour le nombre de positions possibles aux échecs.....

Bien vu; le problème, c'est de trouver toutes les solutions ...
On a aussi par exemple
98754210 - 01245789=97508421

[chan79]

Bien vu; le problème, c'est de trouver toutes les solutions ...
On a aussi par exemple
98754210 - 01245789=97508421

celui-là est sympa:
987654321 - 123456789=864197532

[LeJeu]

Bien vu; le problème, c'est de trouver toutes les solutions ...
On a aussi par exemple
98754210 - 01245789=97508421

C'est tentant de recommencer le coup du (6,3)
9876543210 -
0123456789=
9753086421

et puis pour pas cher le ( 0,9)
9987542100 -
0012457899=
9975084201

et bien sûr le mixte
998765432100 -
001234567899=
997530864201

[LeJeu]

celui-là est sympa:
987654321 - 123456789=864197532

Va falloir qu'on range tout ça ....

[LeJeu]

Va falloir qu'on range tout ça ....

98766543321 -
12334566789=

86431976532

[LeJeu]

Va falloir qu'on range tout ça ....

Résumons ..
Voici les nombres cités dans ce post, en bleu ceux donnés par Chan, en Magenta le mien, en noir ceux "fabriqués" en insérant des ( 9,5,4); (6,3),(9,0)

3 chiffres
954 -459 = 495

4 chiffres
7641-1467=6174

6 chiffres
766431 - 134667 = 631764
995544 - 445599 = 549945

8 chiffres
76664331 - 13346667 = 63317664
98754210 - 01245789 = 97508421


9 chiffres
987654321 - 123456789 = 864197532
999555444 - 444555999 = 554999445

10 chiffres
7666643331 - 1333466667 = 6333176664
9876543210 - 0123456789 = 9753086421
9987542100 - 0012457899 = 9975084201

11 chiffres
98766543321 - 12334566789= 86431976532

12 chiffres
998765432100 - 001234567899 = 997530864201

Bien sûr il y a d'autres nombres à composer à partir des nombres à 10 chiffres

Chan que dit ton ordi ? tu as vérifié jusqu'à combien de chiffres ?

[LeJeu]

C'est tentant de tout doubler?

987654321 -
123456789 =
864197532

998877665544332211 -
112233445576778899 =
886644219977553312

98754210 -
01245789 =
97508421

98877554422110-
01122445577889 =
97755108844221

[hammana]

C'est tentant de tout doubler?

987654321 -
123456789 =
864197532

998877665544332211 -
112233445576778899 =
886644219977553312

98754210 -
01245789 =
97508421

98877554422110-
01122445577889 =
97755108844221

Pourquoi personne ne commente le cas de nombres à 5 chiffres

[LeJeu]

Pourquoi personne ne commente le cas de nombres à 5 chiffres

On peut conjoncturer qu'il n'y ait pas de solutions à 5 chiffres .... sinon elle serait passée par la moulinette de Chan ...

[hammana]

On peut conjoncturer qu'il n'y ait pas de solutions à 5 chiffres .... sinon elle serait passée par la moulinette de Chan ...

Je me suis intéressé à la fonction que j'ai appelé y=conv(x), y étant la différrence entre le nombre maximum et le nombre minimum qu'on peut écrire avec les mêmes chiffres que x. Je peux considérer y comme le père de x, (chaque fils a un seul père, mais un père peut avoir plusieurs fils).
Il est facile de montrer que quel que soit x, y est un multiple de 9. Soit E0 l'ensemble de tous les entiers x ayant n chiffres ou moins (j'excluerai toujours les nombres dont tous chiffres sont égaux), les nombres y obtenus par y=conv(x) forment un ensemble E1 contenu dans E0. Si je répète la même opération avec E1 j'obtiens un ensemble E2 contenu dans E1, et ainsi de suite. Je vais aboutir, au bout d'un nombre fini d'opérations, à un ensemble En qui restera égal à lui-même. Il faut alors admettre que cet ensemble En est constitué de un ou plusieurs sous ensembles tels que chaque sous ensemble soit constitué d'un cetrain nombre d'éléments formant un cycle ordonné et fermé où chaque élément est le fils du suivant. L'ensemble E0 est ainsi divisé en ethnies définies chacune par un sous-ensemble de En. En partant d'un élément quelconque de E0 et en remontant sa lignée on retrouve à quelle ethnie il appartient.

L'ensemble des nombre de 4 chiffres constitue une seule ethnie qui a pour ancêtre premeir le chiffre 1467. Quelqu'un qui n'a pas d'ordinateur peut retrouver ce chiffre en se disant: s'il existe je dois le retrouver en partant d'un nombre quelconque de 4 chiffres et en remontant de fils en père. En fait il le retrouve au bout de 8 opérations tout au plus.

L'ensemble des nombres de 5 chiffres est formé de 3 ethnies issues des sous-ensembles suivants:
35559;45999.
33579;34569;14679;22689.
23589;34479;24669;13779.

L'ensemble des nombres de 6 chiffres est formé de 3 ethnies issues des sous-ensembles suivants:
134667
445599
223668;244566;24678;12458;34578;24588;23688

J'ai voulu placer le problème posé initialement dans un cadre plus large. Les caprices que peuvent avoir les nombres son amusants, mais essayons de passer à des choses plus uitles.

[chan79]

C'est tentant de tout doubler?

987654321 -
123456789 =
864197532

998877665544332211 -
112233445576778899 =
886644219977553312

98754210 -
01245789 =
97508421

98877554422110-
01122445577889 =
97755108844221

salut
avec 18 chiffres, voilà ce que crache mon vieil ordi
[img][IMG]http://img838.imageshack.us/img838/586/82646472.png[/img][/IMG]

Le première ligne est à oublier
La cinquième, par exemple, donne la soustraction:

999887755442211000 -
000112244557788999 =
999775510884422001

[hammana]

salut
avec 18 chiffres, voilà ce que crache mon vieil ordi
[img][IMG]http://img838.imageshack.us/img838/586/82646472.png[/img][/IMG]

Le première ligne est à oublier
La cinquième, par exemple, donne la soustraction:

999887755442211000 -
000112244557788999 =
999775510884422001

Beaucoup de progrès a été fait sur cette question, je propose maintenant de rechercher 3 nombres a, b, c tels que dans les couples (a-b), (b-c), (c-a), le 2ème nombre du couple se déduise du 1er en soustrayant le minimum du maximum formés avec les chifres de ce dernier.