Du côté des Hobbits

par **DidierK** » 18 Aoû 2007, 21:57

Ce petit problème est connu sous différentes formes. Je ne l'ai pas vu sur le forum.

Bilbon Sacquet rends visite à Frodon, et lui pose cette énigme.
"J'ai trois parchemins, écrits d'un côté en elfique et de l'autre en langage des hommes.
Je te donne ces parchemins, en fermant les yeux tu les tournes et retournes, et tu les étales sur ta table.
En ouvrant les yeux, quelle chance as-tu de voir trois parchemins écrits dans la même langue ?"

Frodon réfléchit et dit à son oncle :
"Une chance sur quatre. Je pourrai voir la face écrite en elfique (E) ou en langage des hommes (H).
Tous les cas possibles sont HHH, HHE, HEH, HEE, EHH, EHE, EEH, EEE; donc j'ai deux chances, EEE et HHH, sur huit. Donc une chance sur quatre".

Sam Gamegie, qui du jardin avait entendu la conversation, intervient.
"Monsieur Frodon, c'est une chance sur deux. En effet, sur les trois parchemins, j'en verrai obligatoirement deux écrits dans la même langue.
Cela ne dépend donc que du troisème parchemin; c'est donc une chance sur deux."

Qui a tort ? Qui a raison ? Et pourquoi ? Qui sera le Gandalf ce cette énigme ?

par **anima** » 18 Aoû 2007, 22:25

Sortons l'artillerie lourde pour vérifier. Soit X le nombre de parchemins écrits en elfique; l'épreuve "tirer un parchemin" est répétée 3 fois; l'évenement, avoir un parchemin en elfique, a une proba p=1/2 indépendante du nombre de tirages précédents.

X~B(3,1/2)

P(X=3) = (1/2)^3 = 1/8

Pareil pour l'humain. On a donc P(HHH)=1/8, P(EEE)=1/8, on additionne, et on voit que miracle! 1/4.

Gamegie a donc a mon avis tort :marteau:

par **DidierK** » 18 Aoû 2007, 22:45

anima a écrit:Sortons l'artillerie lourde pour vérifier.
...
On a donc P(HHH)=1/8, P(EEE)=1/8, on additionne, et on voit que miracle! 1/4.

C'est une approche plus mathématique du raisonnement de Frodon.

Mais dans ce cas, qu'est-ce qui ne va pas dans le raisonnement de Sam ? :lol2:

par **anima** » 18 Aoû 2007, 22:51

DidierK a écrit:C'est une approche plus mathématique du raisonnement de Frodon.

Mais dans ce cas, qu'est-ce qui ne va pas dans le raisonnement de Sam ? :lol2:

Une faute logique de dénombrement; si on tient compte de l'ordre, on n'aura pas juste HHx ou EEx. On aura HEH, HHE, EHH, et HHH, et de l'autre coté EEH EHE HEE et EEE.
Si on ne tient pas compte de l'ordre, HHE et HHH ne seront pas équiprobables (la faute de Sam).

par **Imod** » 18 Aoû 2007, 23:57

DidierK a écrit:Mais dans ce cas, qu'est-ce qui ne va pas dans le raisonnement de Sam ? :lol2:

Ne pas confondre cuisine et probabilité !

Imod

par **Joker62** » 19 Aoû 2007, 01:04

C'était pardonnable à leur époque aussi ! :)

par **DidierK** » 19 Aoû 2007, 07:22

anima a écrit:Si on ne tient pas compte de l'ordre, HHE et HHH ne seront pas équiprobables (la faute de Sam).

HHH :go: 1 / 8
HHE :go: 3 / 8
HEE :go: 3 / 8
EEE :go: 1 / 8

Oui, mais ce que dit Sam

"En effet, sur les trois parchemins, j'en verrai obligatoirement deux écrits dans la même langue.
Cela ne dépend donc que du troisème parchemin;"

est juste !

Comment continuer ?

par **anima** » 19 Aoû 2007, 09:30

DidierK a écrit:Oui, mais ce que dit Sam

"En effet, sur les trois parchemins, j'en verrai obligatoirement deux écrits dans la même langue.
Cela ne dépend donc que du troisème parchemin;"

Dans un raisonnement de probabilités, soit on compte l'ordre, soit on ne le compte pas. Sam gamegie a commencé par ne pas tenir compte de l'ordre (les 2 premiers tatata...), puis a directement oublié l'ordre en parlant du choix du 3e, qui n'est pas forcément le 3e en suite logique.

Il vaut mieux tenir compte de l'ordre en entier dans ce petit exercice, comme le fait Frodon :marteau:

par **DidierK** » 19 Aoû 2007, 10:18

anima a écrit:Dans un raisonnement de probabilités, soit on compte l'ordre, soit on ne le compte pas.

Hum...

On est d'accord : Frodon a raison.

Partons de ce que dit Sam, qui est correct.
"En effet, sur les trois parchemins, j'en verrai obligatoirement deux écrits dans la même langue.
Cela ne dépend donc que du troisème parchemin;"

Il n'y a rien à redire sur ces affirmations :lol3:

Comment peut-on continuer le raisonnement de Sam pour arriver au bon résultat ?

Cela doit être possible ! Et, miracle, ça l'est !

Mais comment ?

.

par **anima** » 19 Aoû 2007, 10:19

DidierK a écrit:Hum...

On est d'accord : Frodon a raison.

Partons de ce que dit Sam, qui est correct.
"En effet, sur les trois parchemins, j'en verrai obligatoirement deux écrits dans la même langue.
Cela ne dépend donc que du troisème parchemin;"

Il n'y a rien à redire sur ces affirmations :lol3:

Comment peut-on continuer le raisonnement de Sam pour arriver au bon résultat ?

Cela doit être possible ! Et, miracle, ça l'est !

Mais comment ?

.

Je viens de te dire, il tient compte de l'ordre sans vraiment en tenir compte. Quand on dit "On aura au moins 2 parchs' dans la meme langue", on ne peut pas se permettre de dire "le troisieme sera"; on introduit un ordre.

par **DidierK** » 19 Aoû 2007, 11:05

anima a écrit:Je viens de te dire, il tient compte de l'ordre sans vraiment en tenir compte. Quand on dit "On aura au moins 2 parchs' dans la meme langue", on ne peut pas se permettre de dire "le troisieme sera"; on introduit un ordre.

Il y aura toujours deux parchemins dans la même langue, c'est indiscutable.

Le résultat dépend donc du troisième parchemin, c'est vrai aussi...

En fait, c'est un problème de probabilités conditionnelles !

La probabilité que les parchemins soient tous en elfique est en fait "la probabilité qu'un parchemin soit en elfique sachant que les deux autres sont en elfique" !

Donc la probabilité que les trois parchemins soient dans la même langue est "la probabilité qu'un des parchemins soit en humain sachant que les deux autres sont en humain, plus la probabilité qu'un des parchemins soit en elfique sachant que les deux autres sont en elfique".

Et, miracle, le calcul redonne bien 1/4.

Mais il sest beaucoup plus simple et rapide de faire un Bernoulli comme tu l'as fait !

par **fahr451** » 19 Aoû 2007, 11:11

bonjour

ce post me fait penser à ceci (sans doute déjà posté cent fois sur le forum( y compris peut etre par moi)(la vioture...)):

trois cartes à deux faces chacune

une carte : rouge rouge
une carte : rouge noire
une carte : noire noire

on les met dans un chapeau

on tire une carte : la face visible est rouge
quelle est la probabilité que l'autre face soit noire?

par **alben** » 19 Aoû 2007, 11:50

Bonjour,
La vioture ? alors que selon mes calculs tu n'es pas encore né, à peine conçu !
Sinon, je dirais une chance sur 3
(surligner pour voir)

par **bruce.ml** » 20 Aoû 2007, 06:58

Ce genre d'exercice est pas mal je trouve pour bien comprendre les probas. Pourquoi est-ce que ce n'est pas 1/2, alors que si une face est rouge c'est que une des deux cartes à face rouge qui est tirée, et qu'elles ont toutes les deux une chance sur deux d'être tirée ?
Bonne question pour des lycéens qui commencent les probas je trouve :)

par **DidierK** » 23 Aoû 2007, 16:26

Je le trouve bien cet exercice, parce qu'on peut le faire de deux manières :
probas conditionnelles,
raisonnement (un peu) astucieux.

par **cesar** » 25 Aoû 2007, 08:09

c'est exercices ressemblent, sur le fond, au paradoxe de bertrand, dans le cas de bertrand : il y a plusieurs raisonnements qui donnent des resultats différents, pour le meme evenement....
http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/paradoxe/textes/bertrand.htm
pour les annimations (mais en partiel : tous les cas ne sont pas abordés)

http://www.trigofacile.com/maths/curiosite/index.htm
(le complet : avec tous les cas...)

ps: bertand : du XIXeme, son paradoxe est celebre...

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