Dans un carré de côté 1...

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 15:36

Dans un carré de côté 1, se trouvent plusieurs cercles dont le diamètre est inférieur à 0,001. La distance entre deux points quelconques de deux cercles est différente de 0,001. Démontrer que l'aire totale couverte par les cercles est inférieure ou égale à 0,34.

par **alben** » 13 Aoû 2007, 17:17

Bonjour,
Il doit manquer quelques conditions
0,000001 est différent de 0,001.
L'intersection des cercles n'étant pas vide, on doit pouvoir s'approcher aussi près que l'on veut de 1 :ptdr:

par **Imod** » 13 Aoû 2007, 18:20

emdro a écrit:Démontrer que l'aire totale couverte par les cercles est inférieure ou égale à 0,34.

A mon avis le "égale" est de trop ( il faut bien que je trouve quelque chose à dire :we: ) .

Imod

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 18:32

D'accord. Je transforme le "inférieur ou égal" de la fin en "inférieur strict".
Tu as réussi à augmenter la difficulté du problème (mais pas trop!!) :happy2:

par **alben** » 13 Aoû 2007, 19:52

Bonsoir,
Je pense que ce n'est pas la peine qu'Imod vienne mettre son grain de sel pour apporter des contraintes supplémentaires, ça m'a l'air bien assez difficile.
Tout d'abord, il faut imaginer la configuration qui permet le plus grand recouvrement. Ce n'est pas évident, il n'est pas interdit de les faire se recouvrir.
Si l'on prend l'un des cercles, il va être entouré par un autre, concentrique de rayon 0,001+r qui ne pourra être occupé. Mais rien n'empêche d'essayer de remplir la couronne par d'autres cercles... .

par **emdro** » 13 Aoû 2007, 19:56

Alben,

dans le cas d'un tel recouvrement, (un disque dans un autre) je ne compte pas l'aire de petit deux fois: mes crayons de couleur ne seont pas plus usés! Donc ce cas n'a pas été envisagé.

par **alben** » 13 Aoû 2007, 20:15

Non j'ai dit une bétise, en fait un cercle de rayon 0,3 (je raisonne en millième) est entouré par deux cercles concentriques de rayons 0,7 et 1,3, cela détermine deux couronnes, la plus externe est hachurée de points interdits, l'interieure est utilisable pour y placer des cercles dont l'intersection avec le premier n'est par forcément vide.
Il faut vérifier si le hachurage est suffisemment dense pour interdire tout cercle dans l'une et si c'est plus intéressant de combler la couronne intéireure que d'agrandir le cercle

par **Imod** » 13 Aoû 2007, 20:31

alben a écrit:Je pense que ce n'est pas la peine qu'Imod vienne mettre son grain de sel pour apporter des contraintes supplémentaires, ça m'a l'air bien assez difficile.

Pas d'affolement alben , je n'ajoute rien au problème : l'égalité est impossible car le rapport est irrationnel :we: Je jetterai un coup d'oeil plus approfondi ce soir .

Imod

par **alben** » 13 Aoû 2007, 23:50

@Imod : Il n'est pas interdit d'avoir des cercles dont les rayons sont irrationnels et l'aire totale couverte peut être rationnelle.

En revanche il me semble que 0,34 est une borne élevée.
Un cercle a un rayon r<0,5. Il est entouré d'une couronne "constructible" de r à 1-r et d'une couronne interdite de 1-r à 1. Pour cette dernière, ce n'est pas une question de densité, tous les points sont interdits.
Si l'on tente de placer des cercles dans la partie constructible, on va inévitablement déplacer le bord externe et agrandir la surface inconstructible. En outre, chaque cercle créé supprime une zone bien plus importante à l'opposé.
On peut, puisque les cercles peuvent se couper, élargir le cercle initial en plaçant de petits cercles chevauchant son périmètre
Mais c'est encore plus simple de prendre des cercles de diamètre 1- et de les ranger comme des oranges (ayant une peau deux fois plus épaisse que leur rayon) dans notre carré.
Mais cette peau est souple, en fait, il suffit de prendre une couronne d'épaisseur 0,5 autour de chaque cercle, ce qui donne un rapport de 1/4.
On va gagner un peu sur les bords et perdre les interstices qui deviennent non constructibles.
je ne vois pas alors comment on pourrait dépasser une aire de 0,25.

PS Après consultation de mon épicier, on doit pouvoir atteindre 0,23 ou 0,24 en glissant quelques mandarines parmis les oranges (le rangement classique donne 0,227 sans combler les trous)

par **emdro** » 14 Aoû 2007, 11:56

M'améliorer mes exos, d'accord, mais me faire réfléchir... :hum:

La démonstration que je détiens est assez élémentaire (d'où la rusticité du 0,34), et n'utilise que des translations...

par **cesar** » 14 Aoû 2007, 17:09

emdro a écrit:Dans un carré de côté 1, se trouvent plusieurs cercles dont le diamètre est inférieur à 0,001. La distance entre deux points quelconques de deux cercles est différente de 0,001. Démontrer que l'aire totale couverte par les cercles est inférieure ou égale à 0,34.

tu as oublié de dire qu'il s'agit de cercles disjoints, sinon cela ne marche pas...car on peut faire un recouvrement presque complet avec des cercles non disjoints en nombre infini.... cela découle de la dimension de Hausdorf.....

par **alben** » 14 Aoû 2007, 18:21

cesar a écrit:tu as oublié de dire qu'il s'agit de cercles disjoints, sinon cela ne marche pas...car on peut faire un recouvrement presque complet avec des cercles non disjoints en nombre infini.... cela découle de la dimension de Hausdorf.....

.
Non César, la condition donnée sur la distance est plus contraignante que le fait que les cercles soient disjoints.

par **cesar** » 15 Aoû 2007, 09:42

alben a écrit:.
Non César, la condition donnée sur la distance est plus contraignante que le fait que les cercles soient disjoints.

en avez vous la preuve ?
si on prend des cercles de diametre 10^-8 et des distances entre les centres de cercles voisins une valeur irrationnelles de l'ordre de 10^-100, avez vous une chance de tomber sur une distance de 0.001 ? autour d'un point d'un cercle, on devrait pourvoir remplir l'interieur d'un cercle de 0.001 et il devrait rester des "trous", mais la reponse ne me semble pas évidente... :help:

par **alben** » 15 Aoû 2007, 11:29

Cesar, on peut effectivement remplir l'intérieur d'un cercle de diamètre 0,001 par les points d'une multitude de cercles
1 autant tracer directement ce cercle puisque l'énoncé le permet et ce que l'on cherche c'est la surface des disques délimités par les cercles sans compter deux fois les intersections
2 une fois ce disque rempli par un ou plusieurs cercles, il reste une couronne d'épaisseur 0,001 dans laquelle il est impossible de faire passer le moindre cercle.
Sa surface sera 8 fois plus importante et il n'y a aucun moyen de la recouvrir...

par **cesar** » 15 Aoû 2007, 18:08

alben a écrit:Cesar, on peut effectivement remplir l'intérieur d'un cercle de diamètre 0,001 par les points d'une multitude de cercles
1 autant tracer directement ce cercle puisque l'énoncé le permet et ce que l'on cherche c'est la surface des disques délimités par les cercles sans compter deux fois les intersections
2 une fois ce disque rempli par un ou plusieurs cercles, il reste une couronne d'épaisseur 0,001 dans laquelle il est impossible de faire passer le moindre cercle.
Sa surface sera 8 fois plus importante et il n'y a aucun moyen de la recouvrir...

votre demo se tient, sauf sur un point : qui vous dit qu'il n'y a pas mieux (attention : je ne pretends pas avoir fait mieux...) ???

par **alben** » 15 Aoû 2007, 20:24

Cesar
D'abord, je suis très mal à l'aise avec le vouvoiement. Mais puisque c'est votre volonté...
Ensuite je ne pense pas voir fait une vrai démo, effectivement, la démarche adoptée est un peu intuitive.
Comme vous l'avez dit, on peut, avec des cercles non disjoints, envelopper n'importe quelle surface à condition qu'elle soit à l'intérieur d'un cercle de rayon 0,0005.
Autour, on va avoir une zone interdite, donc perdue de "largeur" 0,001.
Il semble clair que la zone enveloppée doit être connexe et convexe. (sinon, on crée des surfaces perdues inutiles. Ca ça doit pouvoir se prouver.
J'avais penser à définir la zone enveloppée de telle sorte que la surface totale soit un carré ou un rectangle, plus facile à caser dans notre grand carré.
Tout compte fait, c'est moins favorable que les cercle de rayon maxi.
Mais il existe peut-être une astuce super-astucieuse à laquelle on ne pense pas...

par **emdro** » 15 Aoû 2007, 20:51

Comme je pars en vacances, je vous donne un indice, car vous vous engagez dans des méthodes compliquées.
Considérez deux translations t et T dont les vecteurs ont pour norme 0,001. (je vous laisse les trouver). Etudiez l'ensemble des cercles D et ses images t(D) et T(D).

Rendez-vous fin août...

par **Imod** » 16 Aoû 2007, 00:49

Je crois avoir la réponse , je la donne sans vérification car il est un peu tard ! Notons

l'ensemble des disques contenus dans le carré et rapportons le plan à un repère orthonormé dont les axes sont portés par deux côtés du carré . On peut supposer en toute généralité qu'aucun disque de

n'est contenu dans un autre . Soit

et

les translations de vecteurs

et

. Notons

et

alors par hypothèse

et

et comme

a pour vecteur

,

. Alors L'ensemble des cercles

est contenu dans un rectangle de côtés

et

Donc l'aire de

est inférieure ou égale à

.

Bon tout n'est pas clair et demande vérification , mais ce sera pour demain :dodo:

Imod

par **emdro** » 16 Aoû 2007, 08:53

Parfait, c'est exactement cela!

Bravo :happy2:

par **Imod** » 16 Aoû 2007, 19:40

emdro a écrit:Parfait, c'est exactement cela!

Absent toute la journée j'étais persuadé qu'en rentrant j'allais trouver un monceau d'injures ( j'étais réellement très fatigué quand j'ai posté ) . Comme je ne suis toujours pas convaincu je vérifierai la solution plus au calme ce soir ( au passage on récupère l'inégalité stricte :happy2: ) . Pour revenir sur les considérations d'alben , je ne crois pas que ce soit en contradiction ou que celà appauvrisse l'exercice : ici les cercles peuvent se couper .

Bonnes vacances Emdro :zen:

Imod

Dans un carré de côté 1...

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