Corrigé d'Olympiade
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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upium666
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par upium666 » 20 Juin 2013, 10:45
Bonjour à tous et à toutes !
Voilà le corrigé d'un sujet d'Olympiades (Internationales je suppose) :
Fichier PDF On considérera l'Exercice 1
On sait (je viens de découvrir) que l'inégalité AM-GM, en français : Inégalité arithmético-géométrique, est la suivante :
 \ \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n}x_i} \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i)
où
 \ x_i \geq 0)
Comment est-on arrivé à affirmer la chose suivante :
\sqrt{2a^2+b^2}}{3ab}\geq \frac{3\sqrt[3]{b^2a}\sqrt{3\sqrt[3]{a^4b^2}}}{3ab})
?
Merci
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Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 20 Juin 2013, 11:07
upium666 a écrit:Bonjour à tous et à toutes !
Voilà le corrigé d'un sujet d'Olympiades (Internationales je suppose) :
Fichier PDF On considérera l'Exercice 1
On sait (je viens de découvrir) que l'inégalité AM-GM, en français : Inégalité arithmético-géométrique, est la suivante :
où
Comment est-on arrivé à affirmer la chose suivante :
?
Merci
Applique avec les quantités suivantes :
,
et
Hmmm... Je dis peut-être n'importe quoi.
En essayant avec d'autres quantités j'arrive à :
\sqrt{2a^2+b^2}}{3ab}\geq \sqrt[3]{b^2a}\sqrt{ \frac{2\sqrt{2}}{ab}})
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Doraki
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par Doraki » 20 Juin 2013, 11:29
Ils disent qu'il faut l'appliquer deux fois.
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Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 20 Juin 2013, 11:34
Doraki a écrit:Ils disent qu'il faut l'appliquer deux fois.
Oui mais avec quoi ?
Je peux découper le terme à gauche en un produit de deux termes, puis appliquer C-S sur chacun des termes.
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Doraki
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par Doraki » 20 Juin 2013, 11:45
Une fois avec a, b, et b,
et une fois avec a², a², et b².
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upium666
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par upium666 » 20 Juin 2013, 14:52
Doraki a écrit:Une fois avec a, b, et b,
et une fois avec a², a², et b².
Vous pouvez m'expliciter votre démarche ?
Merci
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Kikoo <3 Bieber
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par Kikoo <3 Bieber » 20 Juin 2013, 19:56
upium666 a écrit:Vous pouvez m'expliciter votre démarche ?
Merci
Salut,
La méthode Doraki suggère :
Puis
d'où :
D'où l'inégalité.
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upium666
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par upium666 » 21 Juin 2013, 02:53
Kikoo <3 Bieber a écrit:Salut,
La méthode Doraki suggère :
Puis
d'où :
D'où l'inégalité.
C'est clair :lol3:
Merci !
:we:
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