Conserve la somme et l'inverse

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 21:33

Bon pour un morphisme de Z/2Z dans Z/3Z, que dire de f(2) ? Ca devrait te mettre sur la voie.



benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 22:00

Nightmare a écrit:Bon pour un morphisme de Z/2Z dans Z/3Z, que dire de f(2) ? Ca devrait te mettre sur la voie.


Oui mea culpa , une classe a de Z/nZ n'est génératrice de Z/nZ que si pgcd(a,n)=1

f(2)=f(0) donc f(2=2+2)=2f(2)=0 ainsi f(1)=f(2)/2=0 [enfin on l'écrit sans la division bien sûr] et donc f=0

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 22:12

benekire2 a écrit:Oui mea culpa , une classe a de Z/nZ n'est génératrice de Z/nZ que si pgcd(a,n)=1


Oui ! Ca peut être utile pour la suite...


f(2)=f(0) donc f(2=2+2)=2f(2)=0 ainsi f(1)=f(2)/2=0 [enfin on l'écrit sans la division bien sûr] et donc f=0



Alors, qu'entends-tu par "on l'écrit sans la division".

Le principal, c'est qu'on obtient que f(2)=2f(1)=0. Ensuite, comme tu l'as écrit, ça implique que f(1)=0. Pourquoi? Ok, f(1)=f(2)/2=0 où 1/2 = ... (mod 3) donc l'argument essentiel est que 2 est inversible mod 3, donc ...

Cela va te donner une première idée de restriction sur m et n.

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 22:21

Ok, ça s'éclaircit , même si j'ai pas trop chercher depuis mon "retour de la bouffe" ; pgcd(m,n)=1 <=> m inversible dans Z/nZ ainsi , ici faut pas que m et n soient premier entre eux sinon le seul morphisme sera nul ( enfin je crois ) .

Reste le cas pgcd(n,m)>1

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 22:26

Effectivement.

Eh bien en suite, dans le cas pgcd(n,m)=d > 1 eh bien on utilise le même argument. f(n)=...

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 22:46

Attend, pour l'instant je vois pas trop avec quoi remplacer tes pointillés, j'aurais envie d'écrire m=m'd et n=n'd avec (m',n')=1 et donc f(n)=n'f(d) et ... :doh:

Donc on veut montrer qu'il n'existe aucun morphisme a part le nul ? Dans tout les cas ?

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 23:01

Il en existe des morphismes, il faut que tu retiennes ce qu'on fait étape par étape.

L'argument qu'on utilise depuis le début, que ce soit pour Z->Z/nZ, Z/2Z->Z/3Z ou Z/nZ->Z/mZ, c'est que 1 ( ou la classe de 1) est un générateur, que f(n)=nf(1) et donc que la donnée d'un morphisme ne dépend que de l'image de 1.

Ensuite, pour Z/2Z -> Z/3Z on a montré que l'image de 1 était forcément nulle et s'ensuivait que f était identiquement nulle. Pourquoi? Parce que 2f(1)=0 (mod 2)=> f(1)=0 (mod 3) parce que 2 et 3 sont premiers entre eux.

Maintenant, s'ils ne sont pas premiers entre eux, que faut-il faire? Eh bien comme avant, on s'intéresse à f(1). On a toujours f(n)=nf(1)=0 (mod m). Comme n et m ne sont plus premiers entre eux, cette fois-ci f(1) n'est plus forcément nul. Quelles valeurs peut-il prendre?

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 23:33

Ouais, j'ai relu calmement, tout repris , merci d'avoir synthétiser.
Donc, nf(1)=0 mod(m) on a d=pgcd(n,m) f(1) possibles puisque avec n=dn' et m=dm' , de telle manière que pgcd(n',m')=1 on a nf(1)=0 [m] <=> n'f(1)=0[m'] <=> f(1)=0[m'] ainsi f(1)=0 ou m', ou ... ou (d-1)m' [m] , je crois qu'on est bon, :lol3:

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 23:35

On est bon :happy3:

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 23:47

Sinon, petite question au passage , que me conseille tu de lire / faire pour approfondir sur les groupes , tout en restant bien sûr dans l'abordable par un lycéen , comme moi ?

Merci !

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par Ben314 » 11 Déc 2010, 23:51

benekire2 a écrit:Sinon, petite question au passage , que me conseille tu de lire / faire pour approfondir sur les groupes , tout en restant bien sûr dans l'abordable par un lycéen , comme moi ?

Merci !
Bourbaki, bien sûr :mur:
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par benekire2 » 12 Déc 2010, 00:11

Ben314 a écrit:Bourbaki, bien sûr :mur:


ah ah .. :zen:

Et plus sérieusement ?

PS. Si tu l'as en .djvu ou .pgf le Bourbaki ( ce que je doute ) , je suis partisan des échanges ... juste pour voir a quoi ça ressemble un Bourbaki ...

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Ben314
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par Ben314 » 12 Déc 2010, 01:17

benekire2 a écrit:ah ah .. :zen:

Et plus sérieusement ?

PS. Si tu l'as en .djvu ou .pgf le Bourbaki ( ce que je doute ) , je suis partisan des échanges ... juste pour voir a quoi ça ressemble un Bourbaki ...
Ah que non, j'ai que des versions papier (assez lourdes qui plus est)...
De toute façon, je suis pas certain que tu puisse en tirer grand chose vu la complexité du "bidule"...

Bon, sinon, d'un peu élémentaire sur les groupes, je sais pas trop ce qu'il y a... (perso, les bouquins que je connais un peu, c'est plus L3/M1)
Je sais pas ce qu'il font en prépa, mais à la fac, en L1, L2, y'a quasiment rien de général sur les groupes, juste quelques exemples : matrices inversibles, un tout petit soupson de groupes de permutation pour définir le déterminant, un peu en géométrie (homothéties/translations ; similitudes ; isométries)
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par benekire2 » 12 Déc 2010, 10:53

Ben314 a écrit:Ah que non, j'ai que des versions papier (assez lourdes qui plus est)...
De toute façon, je suis pas certain que tu puisse en tirer grand chose vu la complexité du "bidule"...


Oui , vu les critiques qu'on en fait , je doute que ce soit le mieux pour un lycéen :ptdr:

Ben314 a écrit:Bon, sinon, d'un peu élémentaire sur les groupes, je sais pas trop ce qu'il y a... (perso, les bouquins que je connais un peu, c'est plus L3/M1)
Je sais pas ce qu'il font en prépa, mais à la fac, en L1, L2, y'a quasiment rien de général sur les groupes, juste quelques exemples : matrices inversibles, un tout petit soupson de groupes de permutation pour définir le déterminant, un peu en géométrie (homothéties/translations ; similitudes ; isométries)


Après le problème c'est que pour définir le déterminant , on utilise le groupe symétrique, mais on met pas trop en avant la structure de groupe , enfin je veut dire que l'on fait pas de théorie des groupes, on reste sur un exemple.

Donc je vais devoir attendre encore :we: pas grave ! Et merci !

PS. Peut être qu'en "étoilé" ils font des hors programme sur les groupes et l'algèbre générale en générale. Parce que ça a complétement disparu des programmes maintenant (j'ai regardé) , et comme il y a l'air d'avoir pas mal d'algèbre générale au concours ENS ...

 

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