Conserve la somme et l'inverse

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 14:29

Ha, bien joué. :happy2: (je pourrais sortir l'excuse "je ne suis qu'en terminale" mais je la garde pour plus tard :D)
La fonction réciproque est admis sur R je suppose ? La fonction serait alors bijective...



vincentroumezy
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par vincentroumezy » 11 Déc 2010, 14:29

Si on considérait qu'il existe g(x) une autre fonction vérifiant les conditions, on pourrait montrer qu'elle vaut x ?

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 14:30

Il faudrait utiliser le quotient, et admettre les deux fonctions dérivables sur l'ensemble des réels...

vincentroumezy
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par vincentroumezy » 11 Déc 2010, 14:33

C'est vrai, alors peut etre avec une différence égale à 0 ?

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 14:35

Je pense qu'on reviendrait à l'expression initiale.
Après, pourquoi pas essayer :)

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 14:36

vincentroumezy a écrit:Si on considérait qu'il existe g(x) une autre fonction vérifiant les conditions, on pourrait montrer qu'elle vaut x ?



Je comprends pas trop, quelle différence y aurait-il entre g et les fonctions f qu'on cherche?

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 14:37

Nightmare a écrit:Je comprends pas trop, quelle différence y aurait-il entre g et les fonctions f qu'on cherche?


La différence serait égale à zéro pour prouver une égalité.

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 14:41

ok, ça prouverait éventuellement que la solution est uniquement, mais pas que c'est l'identité.

vincentroumezy
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par vincentroumezy » 11 Déc 2010, 14:43

Si g(x)-x qui est la fonction idntité égale 0, alorsx est l'unique solution des équations.

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 14:45

Ah, j'avais pas compris ceci. Bon, admettons, c'est dans le fond correct, mais a priori, prouver que g(x)-x est nul ben c'est exactement la même difficulté que prouver que g(x)=x donc... Ca ne fait pas avancer le schmilblik ^^

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 14:53

Un indice alors... (enfin plutôt une question mais c'est pas grave) : c'est faisable par un bon terminale S ? Ca m'éviterait de continuer à poster des idées qui sont mauvaises à la base sans pouvoir trouver la bonne un jour... :)

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 15:01

Avec l'indice caché de Doraki ou de FFpower tu montre que f(xy)=f(x)f(y) , ainsi on a f(x)>0 pour tout x puisque f(x)=f(racine(x))^2

1. Montre que f est croissante
2. Montre que f est l'identité sur Q ( sans utiliser la 1 )
3. Conclus que f est l'identité sur R ( on utilisera la densité de Q dans R , ie dans tout intervalle non réduit à un point de R on a un rationnel dedans. )

4. On voit que l'hypothèse f(1)=1 est superflue.


Nightmare >> Une indic pour les deux dernière équations ? Merci !

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 15:01

En fait, comme les lycéens qui répondent à mes défis sont des lycéens qui en savent plus que des lycéens "normaux", j'ai l'habitude de poster des défis que je dis solvable par des lycéens, tout en sachant à quel type de lycéen je m'adresse.

ici par exemple, j'ai admis que tout ceux qui étaient susceptibles de répondre savent déjà qu'une fonction qui vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) est déjà automatiquement Q-linéaire, c'est à dire que pour tout rationnel r et tout réel x, f(rx)=rf(x).

Ensuite, c'est du bidouillage. Ceux qui connaissent bien cette équation savent à peu près quelles peuvent être ses solutions, selon les hypothèses. En l'occurrence, on sait, et on peut montrer même pas trop difficilement, que si on suppose en plus f monotone, alors c'est forcément l'identité. Même chose si on la suppose dérivable ou même seulement continue. C'est aussi la même chose si on la suppose bornée localement.

En conclusion, ce qu'il faut arriver à faire, c'est de montrer que f vérifie une hypothèse supplémentaires. Certains ont proposé dans le topic de montrer la monotonie, moi j'ai montré le caractère borné au voisinage de 0. Doraki propose encore autre chose en montrant que f vérifie une autre équation fonctionnelle qui combinée à la notre fournit pour seule solution l'identité à coup sûr.

Voila, tu as le choix !

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 15:03

benekire2 a écrit:Nightmare >> Une indic pour les deux dernière équations ? Merci !


La première est un indice pour la seconde :lol3:

Sinon, concernant la preuve via f(xy)=f(x)f(y) elle est correcte mais vraiment très longue si l'on doit tout redémontrer.

Je ne suis pas du genre à vanter les mérite de mes propre preuves (sauf pour ennuyer Ben) , mais pour le coup, montrer que f est nécessairement bornée au voisinage de 0 est vraiment beaucoup plus rapide

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 15:03

Nightmare a écrit:Doraki propose encore autre chose en montrant que f vérifie une autre équation fonctionnelle qui combinée à la notre fournit pour seule solution l'identité à coup sûr.

Voila, tu as le choix !


Salut,

Bah non, doraki montre que f vérifie f(xy)=f(x)f(y) et cela nous mène vers ... le chemin de la croissance ... a moins que je me trompe ..

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 15:03

Donc considérons que je veuille montrer qu'elle est croissante.
f(x+1) = f(x) + f(1) = f(x) + 1 donc f est croissante. La fonction décrite auparavant (dont le graphe serait R²) ne serait pas solution ?
Après pour moi, il est évident que f(xy) = f(x)f(y) mais bon... :)
J'y réfléchirai pendant mon cours de guitare, et poserai éventuellement une solution.

benekire2
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par benekire2 » 11 Déc 2010, 15:09

Salut Aiie , si tu veut suivre le cheminement de FF et Doraki , alors :

Non, f(x+1)>f(x) même pour tout x n'implique pas f croissante. Montre d'abord que f(xy)f(x)f(y) pour tout x et y , et ce n'est pas si évident, (regarde l'indic de doraki .. )

Mais comme nightmare te le conseille , suit sa méthode : pour tout x , f(x+1/x)=f(x)+1/f(x)

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 15:11

Attention,

f(x+1/x)=f(x)+1/f(x) mais pas 2f(x).

Anonyme

par Anonyme » 11 Déc 2010, 15:11

Bah x + 1/x est trivialement minorée par 2 dans R+. Je réfléchirai à la suite :)

Nightmare
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par Nightmare » 11 Déc 2010, 15:12

Aaaie a écrit:Après pour moi, il est évident que f(xy) = f(x)f(y) mais bon... :)


Pourquoi est-ce évident? L'astuce de Doraki et ffpower, à moins de la connaitre, elle saute pas aux yeux :lol3:

 

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