Axiomatiser une norme

[washwash]

Bonjour,

Soit un espace linéaire, .
Le but de ma question est comment axiomatiser (caractériser) ???
Je suppose que ssi .
1- Je cherche les conditions pour qu'il existe une fonction linéaire , tel que, ?
2- Je cherche à définir comme suit (par exemple) , et de montrer que h est une norem.

Merci d'avance pour tous vos remarques !!

[zygomatique]

salut

énoncé incompréhensible ...

qu'est-ce qu'un espace linéaire ?

qui sont K, L, h ?

h est une norme ? sur quel ensemble ?

[Ben314]

Salut,
Je pense (plus ou moins...) comprendre la question :
On se donne un e.v. (de dim finie ?) et une application (voire plutôt ...)
On cherche une C.N.S. sur pour qu'il existe et une norme telles que .

Parmi les conditions clairement nécessaires, il y a :


doit être un s.e.v. de (c'est le noyau de )
Sauf que cette condition , elle sert à rien vu qu'elle se déduit trivialement des conditions et .

Par contre, il est bien évident que c'est du délire de parler de comme le fait washwash vu que le seul cas intéressant est celui où donc où (si elle existe) est non bijective (si , est elle même un norme et y'a pas grand chose à dire)

En fait, de et on déduit que est un s.e.v. de et que la restriction de à tout supplémentaire de dans est une norme sur .
On peut évidement prolonger cette norme à tout entier en prenant n'importe quelle norme sur , mais je sais pas si on va pouvoir forcément pouvoir trouver linéaire ensuite...

P.S. : Si, ça marche "les doigts dans le nez" car les condition et impliquent que, si alors pour tout et tout donc il suffit de prendre pour la projection suivant sur n'importe quel supplémentaire de .

[washwash]

Merci beaucoup,
je n'ai pas bien compris ton analyse, je n'arrive vraiment pas à bien écrire la preuve
Est ce que tu peux détailler Ben 314, c'est vraiment ce que je veux (mais il faut qu'il soit linéaire !!!)

[Ben314]

Je te donne le "fil conducteur" :
On suppose que vérifie et
(attention au fait que je met bien dans les hypothèses que est positive).
1) Montrer que est un s.e.v. de .
2) Montrer que si et alors
3) Montrer que si est un supplémentaire de dans (i.e. ) alors la restriction de à est une norme sur .
4) Montrer qu'il existe une norme sur dont la restriction à est .
5) Montrer que où est la projection sur parallèlement à .

[washwash]

J'ai suivi votre plan, mais encore des difficultés, (je suis vraiment nul en algèbre)
1) c'est clair avec la condition f(0)=0.
2) Soit , on a .
On suppose que . Alors, comme , on a , d’où le résultat.
3) Si est supplémentaire de , alors . Donc, f est bien une norme sur L.
4) ???
5) est sont supplémentaires, donc il existe tels que , , et
???????

[Ben314]

Pour la fin du 2), je comprend pas trop ton argument.
Si x est dans E et x2 dans K alors f(x+x2)<=f(x)+f(x2)=f(x) et, réciproquement,
f(x)=f(x+x2-x2)<=f(x+x2)+f(-x2)=f(x+x2) vu que -x2 est lui aussi dans K.

Pour le 4), tu prend n'importe quelle norme h sur K et pour tout x de E, tu écrit x=x1+x2 avec x1 dans L et x2 dans K et tu pose N(x)=f(x1)+h(x2) : c'est bien une norme sur E.

La "projection g sur L parallèlement à K" c'est l'application x=x1+x2 - > x1 (avec x1 dans L et x2 dans K) et tu as alors f(x)=f(x-x2)=f(x1)=N(x1)=N(g(x)) pour tout x de E.

[washwash]

Est ce que on peut avoir l'unicité de g (avec d'autres conditions), ou vous pensez que c'est pas possible ?
Merci d'avance