Aire d'un triangle quelconque

[Micki28]

Bonjour à tous,

Je viens poster mon premier défi.
J'espère juste qu'il n'a pas déjà été posté par quelqu'un d'autre, si c'est le cas j'en suis désolé.
Bon ce n'est pas le défi du siècle... C'est niveau fin collège (enfin on utilise des outils niveau fin collège).

Mais bon quand je vois la difficulté des autres défis, je me suis dis qu'il fallait penser à tout le monde et même aux plus jeunes.

Enoncé:

On a un triangle de longueurs a, b et c. Calculer l'aire de ce triangle en fonction de a, b et c.

Bon courage les jeunes !

PS: En tout cas, cet exercice je l'ai trouvé dans des exercices d'oraux pour prépas.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
Il suffit d'appliquer la formule qu'on trouve dans tous les formulaires.
On peut aussi s'amuser à calculer les angles de ce triangle et calculer l'aire par d'autres formules. On peut aussi mettre le triangle dans un repère orthonormé et calculer l'aire avec les coordonnées. on peut aussi le construire, le dessiner sur un support type carton, et faire une pesée et en déduire l'aire par proportion à une carré découpé dans le même support.
On peut aussi déplacer l'un des sommets par translation parallèle au côté opposé de façon à obtenir un triangle rectangle. Mais comme j'ai pas beaucoup d'imagination, je suis sûr qu'il y a d'autres méthodes.
Il manque une information, avec quelle précision souhaitez-vous le résultat ?

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Micki :)

Est-on censé connaître la formule de Héron (que je n'ai -soit dit en passant- jamais appris) ?

[Micki28]

Bonsoir,

Chacun sa méthode. L'objectif de cet exercice est d'avoir l'aire d'un triangle quelconque en utilisant des formules/théorèmes niveau collège: Pythagore, aire d'un triangle...

C'est bateau comme exercice, mais je pense que ça peut poser des soucis à des collégiens et même des jeunes lycéens.

(En fait, c'est la formule d'Héron qu'on veut démontrer ;) )

[Dlzlogic]

Ces nouveaux noms des formules, ça me ravi.

[Ramanujan71]

Je ne pense pas q'un collégien sache démontrer la formule d'Héron. En effet, je l'ai vu dans un DM avec des notions de première.

[Kikoo <3 Bieber]

Elle est démontrable avec des outils de collège, mais alors... la démo n'est pas triviale du tout du tout ! Je viens de regarder celle de Héron et franchement, un élève de collège qui arrive à me trouver ça, je l'annonce futur beau Gauss ^^

[Zweig]

Salut,

Héron est largement démontrable avec des outils de collégien. On considère la figure suivante avec BC = a, AC = b, AB = c, r = DE et p le demi-périmètre du triangle. En utilisant le fait que le sommet d'un angle est équidistant des points de tangence du cercle inscrit à ce dernier, on montre que : BE = p - b. Par complémentarité, CE = p - c. En considérant le cercle exinscrit en E et en utilisant le fait que le point E', projeté orthogonal du centre de ce cercle sur [BC], est le symétrie de E par rapport au milieu de [EE'], on montre que BH = p.

Enfin, les triangles AED et AEF d'une part, et CHF et CED d'autre part, étant similaires on obtient :



En éliminant FH,



Or (ça se voit très facilement via le découpage de ABC en les 3 triangles formés par les droites reliant le centre du cercle inscrit aux sommets),

D'où

http://www.noelshack.com/2012-27-1341361021-heron.png

[Micki28]

Un collégien peut donner une solution bourrin en utilisant Pythagore + Aire d'un triangle.

Il trace une hauteur. Il fait un Pythagore dans les deux triangles rectangles, il obtient deux expressions de h. (bien sur il faut poser une longueur qui vaut x) et ensuite il obtient l'expression de x en fonction de a,b et de c.
Et enfin il remplace dans le Pythagore la valeur de x pour obtenir la hauteur.

Et enfin il utilise le fameux: Base*hauteur/2

Voilà...

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je veux bien que vous nous donniez le détail.

[chan79]

Bonjour,
Je veux bien que vous nous donniez le détail.

salut
en suivant ce qu'a mis Micki28
Avec la hauteur AH et en posant AH=h , BH=x, BC=a, AC=b et AB=c
c²=h²+x²
b²=h²+(a-x)²
donc c²-x²=b²-(a-x)²
on développe et on a : x=(a²+c²-b²)/2a
h²=c²-x²=c²-(a²+c²-b²)²/(4a²)
4a²h²=4a²c²-(a²+c²-b²)²
4a²h²=(2ac+a²+c²-b²)(2ac-a²-c²+b²)
4a²h²=((a+c)²-b²)(b²-(a-c)²)
4a²h²=(a+b+c)(a-b+c)(b+a-c)(b-a+c)
en posant 2p=a+b+c
4a²h²=2p(2p-2b)(2p-2c)(2p-2a)
en divisant par 16
carré de l'aire du triangle = a²h²/4=p(p-a)(p-b)(p-c)
d’où le résultat
Trop difficile pour être proposé au Collège, en général

[Dlzlogic]

Bonjour Chan,
Ca, je crois pas que j'aurais trouvé, même en connaissant le résultat.

[beagle]

oui, mais le collégien peut donner la formule de la surface du triangle en fonction uniquement de a,b, et c, par la formule de la grue cendrée:
le départ est le mème, deux fois du Pythagore,
soustraction qui enlève les h^2 et x^2
donne x en fonction de a, b, c
que l'on remet dans pythagore à la place de x^2
donc maintenant on a h^2 fonction de a,b,c,
racine carré donne h
et fois c/2 on a S avec que du a,b, et c

après l'esthétique de la grue cendrée versus le héron,
c'est des gouts et des couleurs!

[beagle]

wiki":
La formule de Héron présente une instabilité lors du calcul numérique, qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres (confrontation de petites et grandes valeurs).

En choisissant les noms de côtés de sorte à ce que et en réorganisant les termes de façon à optimiser les grandeurs ajoutées ou soustraites, on obtient la formule de Kahan, plus stable :"

Plus stable certes, mais qui ne passe pas au copié collé,
si les amateurs de latex peuvent nous la mettre.
Ce qui est génant? avec la formule de Héron, c'est qu'on ne visualise pas dans la formule, les triangles de surface quasi zéro, les triangles sur lesquels on s'assoit et qu'on écrase, sur un des sommets ou un des bords.
La formule de Kahan montre mieux l'évolution au zéro.

Et pourquoi écraser un triangle?
alors là je sais pas, accident de la voie publique, monsieur l'agent, je l'ai vu traverser en dehors des clous!

[Kikoo <3 Bieber]

Elle est stable

Formule de Kahan :

[Dlzlogic]

Je ne sais pas si cette formule est très utilisée en-dehors des salles de classe, pas plus que celle du Héron.
Pour ce que je connais, les calculs d'aire de polygone, c'est à dire regroupement de triangles quelconques, se font avec les coordonnées cartésiennes. Le gros avantages est qu'il n'y a pas de racine carrée, par contre les problèmes liés à la précision, évoqués fort brillamment par Beagle, restent d'actualité.
Et j'avoue que je ne vois pas très bien la différence entre Kahan de Héron, même nombre de lettres, se termine par un 'n'.

[beagle]

Bah, en fait c'est ma vision qui baisse,
j'avais pas vu dans la formule de héron, le cas du triangle plat avec un angle de 180 degrés et deux angles de zéro, le a+b=c
et en fait c'est dedans, ça fait bien zéro de surface avec Héron.

Donc je l'ai vu avec Kahan, le surface zéro,
et j'ai cru à l'explication de wiki,
mais c'est nul c'est juste ma mauvaise vue de Héron!

Maintenant pour placer Kahan dans un diner, c'est pas facile non plus!

[Dlzlogic]

"et j'ai cru à l'explication de wiki,"
Wiki a encore frappé. :bad:

[beagle]

"et j'ai cru à l'explication de wiki,"
Wiki a encore frappé. :bad:

Non, non, je crois en saint wiki, wiki est mon ami.
C'est juste que je suis tombé avec plaisir sur Kahan, en croyant comprendre ce que j'avais juste mal lu dans la formule de Héron.
Je ne remets pas en cause que la formule Kahan améliore le calcul lorsque ...
Je n'en sais rien du tout.

[chan79]

Je ne sais pas si cette formule est très utilisée en-dehors des salles de classe, pas plus que celle du Héron.
Pour ce que je connais, les calculs d'aire de polygone, c'est à dire regroupement de triangles quelconques, se font avec les coordonnées cartésiennes. Le gros avantages est qu'il n'y a pas de racine carrée, par contre les problèmes liés à la précision, évoqués fort brillamment par Beagle, restent d'actualité.
Et j'avoue que je ne vois pas très bien la différence entre Kahan de Héron, même nombre de lettres, se termine par un 'n'.

En collège, on peut faire des exos du genre:
Soit un triangle ABC avec AB=11 AC=13 et BC=20
Calculer l'aire de ABC (Héron) puis calculer la hauteur AH.