Devoir de mathématiques sur la factorisation (niveau 3ème)

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albha
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Devoir de mathématiques sur la factorisation (niveau 3ème)

par albha » 02 Oct 2006, 19:21

Bonjour à tous !
Voilà j'ai 3 exercices à faire pour un dm qui ont pour thème la factorisation, mais j'ai vraiment du mal, alors si vous pourriez m'aider ce serait très aimable !
exercice 1
a. Vérifiez par un calcul mental que les égalités suivantes sont vraies :
1²-0²=1
2²-1²=3
3²-2²=5
4²-3²=7
5²-4²=9
Quelle propriété peut-on en conjecturer ? Prouvez cette propriété.
b. Calculer la somme des entiers impairs de 1 à 2003.

exercice 2
Il manquait à Adrien n petits cubes de même arête pour pouvoir construire un grand cube d'arrête n.
a. Exprimer en fonction de n le nombre N de cubes qu'Adrien a empiler. Factoriser.
b. Démontrer que N est divisible par 6.

exercice 3
a. Vérifier que les nombres suivants sont des carrés d'entiers :
2²+3²+2²X3²
3²+4²+3²X4²
4²+5²+4²X5²
b. Comparer les expressions :
n²+(n+1)²+n²(n+1)² et [n(n+1)+1]²
La propriété observée en a. est-elle toujours vraie ?



fibonacci
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par fibonacci » 03 Oct 2006, 09:04

Bonjour,

1)
1²-0²=1
2²-1²=3
3²-2²=5
4²-3²=7
5²-4²=9
on voit une colonne avec tous les chiffres de 1 à 5 au carré
seconde colonne de même mais avec –1 chaque fois

d’où la conjecture n²-(n-1)= ? , puis faire ressortir la somme demandée.

Pour l’exercice 2 je n’ai pas eu l’occasion de m’y attarder

Pour le 3 il suffit de faire les calculs, de même avec les formules et conclure que nous avons à faire à des identités…………..


n²+(n+1)²+n²(n+1)² = [n(n+1)+1]² conclure

je vous souhaite une bonne journée.

Quidam
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par Quidam » 03 Oct 2006, 10:33

albha a écrit:exercice 2
Il manquait à Adrien n petits cubes de même arête pour pouvoir construire un grand cube d'arrête n.
a. Exprimer en fonction de n le nombre N de cubes qu'Adrien a empiler. Factoriser.
b. Démontrer que N est divisible par 6.

Qu'est-ce qui te gêne ?
Combien de petits cubes sont nécessaires pour faire une rangée de n cubes ?
Il en faut n d'accord ?
Bon ! Maintenant, si tu veux faire un carré de côté n petits cubes, tu devras placer n rangées les unes à côté des autres. Donc comme il faut n rangées et que chaque rangée contient n cubes, il faudra n*n petits cubes pour faire un carré ! OK ?
A présent, si tu veux faire un grand cube tu devras faire d'abord un carré de n*n petits cubes, puis poser dessus un deuxième carré de n*n cubes, et ainsi de suite, jusqu'à avoir posé un n-ième carré, lui aussi de n*n cubes.
Au total, il y aura M = n fois (n*n) cubes, donc M = ... (je te laisse écrire le résultat)

A présent, on te dit qu'il manquait n petits cubes. Ca veut dire que le nombre N de cubes d'Adrien n'était pas M mais seulement M-n.
Finalement le nombre N de cubes d'Adrien est tel que :
N = M-n
ou en remplaçant M par la valeur calculée ci-dessus :
N = .....

Une fois que tu as ce résultat, tu n'as plus qu'à factoriser !
albha a écrit:exercice 3
a. Vérifier que les nombres suivants sont des carrés d'entiers :
2²+3²+2²X3²
3²+4²+3²X4²
4²+5²+4²X5²
b. Comparer les expressions :
n²+(n+1)²+n²(n+1)² et [n(n+1)+1]²
La propriété observée en a. est-elle toujours vraie ?

Le a est facile ! Que trouves-tu ?
Pour le b, tu n'as qu'à développer les deux expressions ! Que penses-tu du résultat ?

albha
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par albha » 03 Oct 2006, 19:21

bonjour et merci pour vos réponses, voilà j'ai trouvé :
pour l'exercice 1
a. Il semble que ka soustraction du carré de deux nombres consécutifs d'ordre décroissant est égale à la somme de ces deux nombres :
x²-(x-1)²=x+(x-1)
x²-(x²-2x+1)=x+x-1
2x-1=2x-1
donc x²-(x-1)²=x+(x-1)
b. D'après la propriété démontrée ci-dessus, la somme de tous les chiffres impairs de 1 à 2003 est égale à : 2003²-1²=4012008

pour l'exercice 2
a. N= (n-1)(n-1)(n-1)
mais là je n'arrive pas à factoriser...

pour l'exercice 3
Je ne comprends pas comment trouver que ces calcul sont des carrés d'entiers.

merci de votre aide :++:

yvelines78
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par yvelines78 » 03 Oct 2006, 19:57

bonjour,

exo 2 :
Regarde l'explication de Quidam
l'expression à factoriser est n^3-n=n(n²-1)=n(n+1)(n-1)

Posté par albha
exercice 3
a. Vérifier que les nombres suivants sont des carrés d'entiers :
2²+3²+2²X3²=4+9+4*9=13+36=49=7²=n²+(n+1)²+n²(n+1)²
3²+4²+3²X4²=9+16+9*16=169=13²
4²+5²+4²X5²=16+25+16*25=441=21²

b. Comparer les expressions :
n²+(n+1)²+n²(n+1)² et [n(n+1)+1]²=[n²+n+1][n²+n+1]=n^4+n^3+n²+n^3+n²+n+n²+n+1=n^4+2n^3+3n²+2n+1
n²+(n+1)²+n²(n+1)²=n²+n²+2n+1+n²(n²+2n+1)=2n²+2n+1+n^4+2n^3+n²=n^4+2n^3+3n²+2n+1
donc les expressions sont équivalentes
La propriété observée en a. est-elle toujours vraie ?
oui, puisquu'elle peut s'écrire a=n²+(n+1)²+n²(n+1)²


en utilisant a²-b²=(a+b)(a-b)
x²-(x-1)²=[x-(x-1)][x+(x-1)]=2x-1= x+(x-1)
ladifférence de des carrés de 2 nombres consécutifs est égale au double du plus grand moins un ou à la somme des 2 nombres consécutifs

D'après la propriété démontrée ci-dessus, la somme de tous les chiffres impairs de 1 à 2003 est égale à : 2003²-1²=4012008
là, je ne comprends pas le lien
si x=2003, x-1=2002
x²-(x-1)²=2003+2002, ce qui n'est pas la somme de deux nombres impairs!!!

A+

albha
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par albha » 03 Oct 2006, 21:13

Merci yvelines78 pour ta réponse qui m'a bien avancée, mais il me reste un dernier problème qui est :Démontrer que N est divisible par 6 dans l'exercice 2 ? :hein:

albha
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par albha » 03 Oct 2006, 23:58

yvelines78 a écrit:si x=2003, x-1=2002
x²-(x-1)²=2003+2002, ce qui n'est pas la somme de deux nombres impairs!!!

Je pense que :
b. D'après la propriété démontrée ci-dessus, la somme de tous les chiffres impairs de 1 à 2003 est égale à : 2003²-1²=4012008

sinon pour l'exercice 2 b)
N est divisible par 6 car :
n(n+1)(n-1)
et 6= 1X2X3
et si n=1, n(n+1)(n-1)=6
je pense que c'est ça ! :id:

yvelines78
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par yvelines78 » 04 Oct 2006, 10:44

b. D'après la propriété démontrée ci-dessus, la somme de tous les chiffres impairs de 1 à 2003 est égale à : 2003²-1²=4012008

je ne comprends pas comment tu en arrives à cette conclusion!!!
tu n'appliques pas la relation démontrée qui est :
x²-(x-1)²=x+(x-1)
si x=2003, 1 n'est pas x-1

2003²-1²=(2003-1)(2003+1)=2002*2004=4010006

sinon pour l'exercice 2 b)
N est divisible par 6 car :

n(n+1)(n-1)
et 6= 1X2X3
et si n=1, n(n+1)(n-1)=6
je pense que c'est ça !


si n=1 n(n+1)(n-1)=1*(1+1)(1-1)=0
si n=2 n(n+1)(n-1)=2*3*1=6
si n=3 n(n+1)(n-1)=3*4*2=24
si n=4 n(n+1)(n-1)=4*5*3
si n=5 n(n+1)(n-1)=5*6*4
si n=6 n(n+1)(n-1)=6*7*5
si n=7 n(n+1)(n-1)=7*8*6
si n=8 n(n+1)(n-1)=8*9*7

quand n est pair, n+1 n-1 sont impairs, le résultat est divisible par 2
quand n est impair, n+1 et n-1 sont pairs, le résultat est divisible par 4

dans 3 nombre consécutifs, il y en a toujours un qui est divisible par 3

un nombre qui est divisible par 3 et 2 est divisible par 6

A+

Quidam
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par Quidam » 04 Oct 2006, 11:10

albha a écrit:b. D'après la propriété démontrée ci-dessus, la somme de tous les chiffres impairs de 1 à 2003 est égale à : 2003²-1²=4012008

Tu te trompes ! Il est clair que ta formule est fausse ! Tu voudrais dire :
que somme de tous les chiffres impairs de 1 à 3 est égale à : 3²-1²=8 ? Pour moi 1+3=4=2².
que somme de tous les chiffres impairs de 1 à 5 est égale à : 5²-1²=24 ? Pour moi 1+3+5=9=3².

Alors, reprenons :
Tu as montré que x²-(x-1)²=2x-1
Donc :
1²-0²=1=2*1-1
2²-1²=3=2*2-1
3²-2²=5=2*3-1
4²-3²=7=2*4-1
....
1000²-999²=1999=2*1000-1
1001²-1000²=2001=2*1001-1
1002²-1001²=2003=2*1002-1

En faisant la somme de tous les membres de gauche, tu obtiens :
(1²-0²)+(2²-1²)+(3²-2²)+(4²-3²)+...+(1000²-999²)+(1001²-1000²)+(1002²-1001²) = 1002² = 1004004
Et en faisant la somme de tous les membres de droite, tu obtiens :
1+3+5+7+....+1999+2001+2003
Et tu déduis donc :
1+3+5+7+....+1999+2001+2003 = 1004004 !

albha a écrit:N est divisible par 6 car :
n(n+1)(n-1)
et 6= 1X2X3
et si n=1, n(n+1)(n-1)=6

C'est bien dit, mais c'est insuffisant : tu viens de démontrer que si n=1 alors n(n+1)(n-1)=6. D'accord ! Mais que se passe-t-il si n n'est pas égal à 1 ? Tu n'as rien démontré dans ces cas-là !
En fait, ce n'est pas difficile. Il suffit de remarquer que dans trois entiers consécutifs, il y a forcément au moins un nombre pair, et il y a forcément un nombre divisible par 3. Alors le produit de ces trois nombres est forcément divisible par 6.

Quidam
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par Quidam » 04 Oct 2006, 11:12

Désolé yvelines78 ! Je n'avais pas vu que tu avais répondu !

albha
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par albha » 04 Oct 2006, 15:01

Merci beaucoup pour toutes vos réponse et à bientôt je l'espère :happy2:

 

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