Demonstration de la distributivite

[arnot]

Bonjour,
Je cherche une, ou même plusieurs démonstrations de la distributivite.
Je suis prof, donc pas besoin de détails.
Merci
Arnot

[Alpha]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre votre question. Il me semble que la distributivité est un axiome. Dans un anneau ou un espace vectoriel, en tout cas, c'est un axiome.

Cordialement,

Alpha

[olivthill]

Il faut démontrer la distributivité de quelle opération par rapport à quelle opération ?

Voici la démontration dans le Dixmier (mon vieux livre de maths de première année d'université) pour la distributivité de de l'intersection par rapport à la réunion :

A inter (B union C) = (A inter B) union (A inter C)
Soit x, un élément de A inter (B union C)
D'abord, x A.
Ensuite x (B union C), donc x B ou x C
Si x B, alors x A inter B.
Si x C, alors x A inter C.
Dans les deux cas, x (A inter B) union (A inter C)

En bref, M. Dixmier fait sa démonstration en se servant d'un élément quelconque d'un ensemble et en remplaçant les opérateurs inter par et, union par ou.

Pour démontrer la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, a(b+c) = ab+ac, j'appliquerai la méthode géométrique des anciens, mais je ne sais pas si cette méthode est valable pour vous.

On considère un rectangle de largeur a et de longueur n. La surface est a x n.
Puis on coupe n en deux parties de longueur quelconque, b et c, pour avoir n = b+c.
La surface du grand rectangle, a(b+c), est égale à la surface du petit rectangle ab plus la surface de l'autre petit rectangle ac.

Edit :
Une autre démonstration pourrait se baser sur le fait qu'une multiplication est une série d'additions (pour les entiers naturels). Une série de n additions peut être considérée comme un ensemble d'additions. Additonner deux séries revient à faire l'union de deux ensembles disjoints. La cardinalité de l'union des deux ensembles sera égale à la somme des cardinalités de deux ensembles.

[titine]

Oui, j'allais moi aussi vous proposer la méthode des aires de rectangles que je trouve très convaincante. Mais malheureusement elle ne s'applique qu'à des nombres positifs ...

[arnot]

Merci pour vos réponses,
J'aurai aimé un moyen plus élégant pour une démonstration plus élégante
Je parle de la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Je ne pense pas que ce soit un axiome
Arno