Y a rien à comprendre.
Pierre vous donne 2 bonbons, Sophie vous en donne deux.
Question, à moins d'en avoir mangé, vous avez combien de bonbons ?
Je sais que c'est un peu difficile, mais essayez tout de même de résoudre ce problème.
2+2=4 ?
par Skullkid » 18 Oct 2012, 19:49
Péano ça dit, entre autres, que dès que tu as un entier naturel n, tu peux définir "l'entier naturel suivant", qui s'appelle le successeur de n et qui se note s(n), et que la liste des entiers naturels est :
0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), s(s(s(s(0)))), ...
Comme c'est un peu pénible d'écrire plein de s, on leur donne des petits noms :
s(0) on l'appelle 1 (on aurait aussi bien pu l'appeler Catherine).
s(s(0)), c'est-à-dire s(1), on l'appelle 2.
s(s(s(0))), c'est-à-dire s(2), on l'appelle 3.
s(s(s(s(0)))), c'est-à-dire s(3), on l'appelle 4.
Et on peut définir l'addition en posant a+b = "le b-ième successeur de a", c'est-à-dire a+b = s(s(...s(a))) où le nombre de s est égal à b (c'est pas une définition rigoureuse mais tu comprends l'idée).
Et donc, par définition, 2+2 = s(s(2)) = s(s(s(s(0)))) c'est justement celui qu'on a appelé 4.
0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), s(s(s(s(0)))), ...
Comme c'est un peu pénible d'écrire plein de s, on leur donne des petits noms :
s(0) on l'appelle 1 (on aurait aussi bien pu l'appeler Catherine).
s(s(0)), c'est-à-dire s(1), on l'appelle 2.
s(s(s(0))), c'est-à-dire s(2), on l'appelle 3.
s(s(s(s(0)))), c'est-à-dire s(3), on l'appelle 4.
Et on peut définir l'addition en posant a+b = "le b-ième successeur de a", c'est-à-dire a+b = s(s(...s(a))) où le nombre de s est égal à b (c'est pas une définition rigoureuse mais tu comprends l'idée).
Et donc, par définition, 2+2 = s(s(2)) = s(s(s(s(0)))) c'est justement celui qu'on a appelé 4.
par leon1789 » 18 Oct 2012, 19:54
Hello.
Comment démontrer que 1+1 = 2 ? comment démontrer que 2+2 = 4 ?
La question de chaa13 est tout à fait légitime. Je ne suis pas contre un peu d'humour à la Beagle, mais dire qu'il n'y a rien à comprendre et que cette question est sans objet, c'est un peu du n'importe quoi... Certes, la question est basique, mais il faut encore savoir y répondre de manière logique, ce qui est visiblement hors de portée d'un certain qui ferait mieux de s'abstenir d'intervenir du haut de sa retraite.
Il faut revenir aux définitions des nombres naturels et de l'addition, comme l'a dit Billball en début de discussion. Ceci est fait dans la première référence que Judoboy a donnée (cf première réponse de la discussion).
Pour définir les entiers naturels, on utilise 0 et une fonction successeur, notée S.
Par définition, le successeur de 0 est 1, c'est-à-dire 1 = S(0)
Puis 2 est le successeur de 1, c'est-à-dire 2 = S(1)
Puis : 3 = S(2) , 4 = S(3) , etc.
On définit l'addition de deux entiers naturels a+b par récurrence sur b :
a + 0 = a,
et a + S(b) = S(a+b).
Maintenant :
on DEMONTRE que 1+1 = 2
car 1+1 = 1+S(0) = S(1+0) = S(1) = 2
on DEMONTRE que 2+2 = 4
car 2+2 = 2+S(1) = S(2+1) = S(2 + S(0)) = S( S(2+0) ) = S( S(2) ) = S( 3 ) = 4
Comment démontrer que 1+1 = 2 ? comment démontrer que 2+2 = 4 ?
La question de chaa13 est tout à fait légitime. Je ne suis pas contre un peu d'humour à la Beagle, mais dire qu'il n'y a rien à comprendre et que cette question est sans objet, c'est un peu du n'importe quoi... Certes, la question est basique, mais il faut encore savoir y répondre de manière logique, ce qui est visiblement hors de portée d'un certain qui ferait mieux de s'abstenir d'intervenir du haut de sa retraite.
Il faut revenir aux définitions des nombres naturels et de l'addition, comme l'a dit Billball en début de discussion. Ceci est fait dans la première référence que Judoboy a donnée (cf première réponse de la discussion).
Pour définir les entiers naturels, on utilise 0 et une fonction successeur, notée S.
Par définition, le successeur de 0 est 1, c'est-à-dire 1 = S(0)
Puis 2 est le successeur de 1, c'est-à-dire 2 = S(1)
Puis : 3 = S(2) , 4 = S(3) , etc.
On définit l'addition de deux entiers naturels a+b par récurrence sur b :
a + 0 = a,
et a + S(b) = S(a+b).
Maintenant :
on DEMONTRE que 1+1 = 2
car 1+1 = 1+S(0) = S(1+0) = S(1) = 2
on DEMONTRE que 2+2 = 4
car 2+2 = 2+S(1) = S(2+1) = S(2 + S(0)) = S( S(2+0) ) = S( S(2) ) = S( 3 ) = 4
par beagle » 18 Oct 2012, 20:18
" Je ne suis pas contre un peu d'humour à la Beagle, mais dire qu'il n'y a rien à comprendre et que cette question est sans objet, c'est un peu du n'importe quoi..."
je ne suis pas contre les maths, contre Péano.
Mais on a absolument besoin de personne pour qu'un jour le fils de l'homme donne un nom à des quantités,
et le 4 est le 2-2
comme un chat est un chat.
alors oui, il y a des animaux qui peuvent ressembler à un chat et les scientifiques donneront d'autres caractéristiques, mais franchement c'est plus dur de définir un chat avec exactitude que la quantité 4 unités, 4 trucs,
la main moins 1 doigt est le 4,
la main en tant que nombre de doigt existe et est nommable et le 4 est la main (en doigts) moins un.
c'est de la définition, son nom.
après définir proprement à quoi on joue,tout construire proprement, ok.Bravo péano.
Mais la cardinalité à base de bijection , c'est la maternelle, et il n'y a pas besoin d'enseigner la bijection en maternelle.Et la cardinalité du quatre existe en tant que telle.
je ne suis pas contre les maths, contre Péano.
Mais on a absolument besoin de personne pour qu'un jour le fils de l'homme donne un nom à des quantités,
et le 4 est le 2-2
comme un chat est un chat.
alors oui, il y a des animaux qui peuvent ressembler à un chat et les scientifiques donneront d'autres caractéristiques, mais franchement c'est plus dur de définir un chat avec exactitude que la quantité 4 unités, 4 trucs,
la main moins 1 doigt est le 4,
la main en tant que nombre de doigt existe et est nommable et le 4 est la main (en doigts) moins un.
c'est de la définition, son nom.
après définir proprement à quoi on joue,tout construire proprement, ok.Bravo péano.
Mais la cardinalité à base de bijection , c'est la maternelle, et il n'y a pas besoin d'enseigner la bijection en maternelle.Et la cardinalité du quatre existe en tant que telle.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par Kikoo <3 Bieber » 18 Oct 2012, 20:23
Salut,
Le but de Chaa est toutafé légitime. Peut-on l'interdire de s'intéresser à l'axiomatisation de l'arithmétique ?
Un peu de rigueur ne fait pas de mal :) Donc après oui je suis d'accord que un et un font deux et que deux et deux font quatre car l'Homme a nommé ces nombres ainsi.
Mais on va plus loin en s'intéressant à la cardinalité des ensembles tels Z, N, ...
Le but de Chaa est toutafé légitime. Peut-on l'interdire de s'intéresser à l'axiomatisation de l'arithmétique ?
Un peu de rigueur ne fait pas de mal :) Donc après oui je suis d'accord que un et un font deux et que deux et deux font quatre car l'Homme a nommé ces nombres ainsi.
Mais on va plus loin en s'intéressant à la cardinalité des ensembles tels Z, N, ...
par beagle » 18 Oct 2012, 20:27
D'ailleurs la définition du 4 comme le 1+1+1+1 ,
à la maternelle, cela se fait également ainsi, aussi, l'ordinalité sert à apprendre le 4,
je compte 1,2,3,4 et le quatre n'es tpas le dernier, mais l'ensemble, cela se bosse.
Et à un moment il y a eu une grosse gourre de ne pas enseigner le 4 directement,
ce qu'on appelle les constellations, le plus simple pour le 4 étant la constellation du 2-2.
On a à un moment voulu enlever ce truc, ou ne pas insister sur cela,
et cela a donné de grosses catastrophes.
Il y a eu , ou il y a encore un objectif de fin maternelle qui est de savoir reconnaitre une collection de1,2,ou3,ou 4 ou 5 objets.
On a donné le choix aux enfants de faire par l'ordinalité
ou par la reconnaissance directe.
le résultat, c'est quoi, des enfants qui comptent sur leurs doigts d'ordinalité.
à la maternelle, cela se fait également ainsi, aussi, l'ordinalité sert à apprendre le 4,
je compte 1,2,3,4 et le quatre n'es tpas le dernier, mais l'ensemble, cela se bosse.
Et à un moment il y a eu une grosse gourre de ne pas enseigner le 4 directement,
ce qu'on appelle les constellations, le plus simple pour le 4 étant la constellation du 2-2.
On a à un moment voulu enlever ce truc, ou ne pas insister sur cela,
et cela a donné de grosses catastrophes.
Il y a eu , ou il y a encore un objectif de fin maternelle qui est de savoir reconnaitre une collection de1,2,ou3,ou 4 ou 5 objets.
On a donné le choix aux enfants de faire par l'ordinalité
ou par la reconnaissance directe.
le résultat, c'est quoi, des enfants qui comptent sur leurs doigts d'ordinalité.
L'important est de savoir quoi faire lorsqu'il n' y a rien à faire.
par chaa13 » 18 Oct 2012, 20:54
Argh je suis comblé ^^ merci beaucoup !!! Par contre je vais être chiant (et oui encore)... la méthode que j'ai retenu est 1+1 = 1+S(0) = S(1+0) = S(1) = 2 et l'histoire de s(s(s(s(0))))) = 4 !
Donc ok mais ... qui a dis que S(1+0) = S(1)??Comment faire pour dire que 1+0 = 1 ??
MErci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Donc ok mais ... qui a dis que S(1+0) = S(1)??Comment faire pour dire que 1+0 = 1 ??
MErci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
par pinocchio » 18 Oct 2012, 21:34
Juste pour préciser : le lien de Zermelo mérite d'être décrit, c'est un extrait de Principia Matematica de Whitehead et Russell.
Comme ils disent sur internet : c'est un livre célèbre entre autres car il prend des centaines de pages pour prouver que 1+1 = 2.
Il y prouvent aussi beaucoup d'autres choses sur les fondements des mathématiques, mais à la page 379, ils finissent par arriver à prouver que 1 + 1 = 2 ...
Comme ils disent sur internet : c'est un livre célèbre entre autres car il prend des centaines de pages pour prouver que 1+1 = 2.
Il y prouvent aussi beaucoup d'autres choses sur les fondements des mathématiques, mais à la page 379, ils finissent par arriver à prouver que 1 + 1 = 2 ...
par Dlzlogic » 18 Oct 2012, 21:38
chaa13 a écrit:Argh je suis comblé ^^ merci beaucoup !!! Par contre je vais être chiant (et oui encore)... la méthode que j'ai retenu est 1+1 = 1+S(0) = S(1+0) = S(1) = 2 et l'histoire de s(s(s(s(0))))) = 4 !
Donc ok mais ... qui a dis que S(1+0) = S(1)??Comment faire pour dire que 1+0 = 1 ??
MErci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Là, je pense que seul Léon peut répondre donc laissons le répondre, c'est lui qui sait.
par Kikoo <3 Bieber » 18 Oct 2012, 21:39
chaa13 a écrit:Argh je suis comblé ^^ merci beaucoup !!! Par contre je vais être chiant (et oui encore)... la méthode que j'ai retenu est 1+1 = 1+S(0) = S(1+0) = S(1) = 2 et l'histoire de s(s(s(s(0))))) = 4 !
Donc ok mais ... qui a dis que S(1+0) = S(1)??Comment faire pour dire que 1+0 = 1 ??
MErci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
C'est l'Homme qui l'a voulu ainsi : c'est la façon la plus naturelle de désigner un objet.
Une unité est une notion discrète, ne faisant intervenir qu'un seul objet - concret ou abstrait - à la fois, palpable et idéalement insécable (car alors on ferait intervenir les rationnels, irrationnels, etc.).
La numération naturelle est à la base de tout, et son axiomatisation rigoureuse (idée sur le rôle du 0, de la notion de successeur, ...) n'est apparue qu'assez tard, au XVIème siècle il me semble.
C'est la base même de la construction de N.
par chaa13 » 18 Oct 2012, 21:47
Merci ;)
Oui l'homme a dit que c'etait comme cela mais ya bien un truc qui le prouve non? Même pour cette histoire de S(1+0) ! Apres oui c'est sur que ça doit être compliqué de l'expliquer pour un élève de seconde p:
Edit : AHH j'en ait marre des message que je ne voit pas ^^ ! Oui c'est vrai que des centaine de page pour prouver que 1+1=2 et moi je suis la entrain de demander qu'on me l'explique en quelques ligne ! En tout cas merci !
Oui l'homme a dit que c'etait comme cela mais ya bien un truc qui le prouve non? Même pour cette histoire de S(1+0) ! Apres oui c'est sur que ça doit être compliqué de l'expliquer pour un élève de seconde p:
Edit : AHH j'en ait marre des message que je ne voit pas ^^ ! Oui c'est vrai que des centaine de page pour prouver que 1+1=2 et moi je suis la entrain de demander qu'on me l'explique en quelques ligne ! En tout cas merci !
par Kikoo <3 Bieber » 18 Oct 2012, 21:48
chaa13 a écrit:Merci
Oui l'homme a dit que c'etait comme cela mais ya bien un truc qui le prouve non? Même pour cette histoire de S(1+0) ! Apres oui c'est sur que ça doit être compliqué de l'expliquer pour un élève de seconde p:
Sais-tu ce qu'est un axiome ?
par chaa13 » 18 Oct 2012, 21:51
Heuu on va dire que je ne suis pas sur j'ai vu juste l'axiome de choix et que ce choix doit être une vérité mais sinon ...
PS : j'ai fais un edit sur mon avant dernier poste !
Daprès la définition de wiki c'est quelques chose qui est vrai et qui na pas besoin de preuve ^^
PS : j'ai fais un edit sur mon avant dernier poste !
Daprès la définition de wiki c'est quelques chose qui est vrai et qui na pas besoin de preuve ^^
par Kikoo <3 Bieber » 18 Oct 2012, 21:58
chaa13 a écrit:Heuu on va dire que je ne suis pas sur j'ai vu juste l'axiome de choix et que ce choix doit être une vérité mais sinon ...
PS : j'ai fais un edit sur mon avant dernier poste !
Daprès la définition de wiki c'est quelques chose qui est vrai et qui na pas besoin de preuve ^^
Oui voilà, quelque chose qui est posé comme vrai et le demeure dans une certaine théorie.
En effet, les théorèmes d'incomplétude de Gödel montrent qu'il existe un axiome choisi dans une certaine théorie dont la valeur de vérité ne pourra pas être confirmée ni réfutée. Tu peux par exemple t'intéresser à l'axiomatisation de la géométrie élémentaire par Euclide, et regarder le dernier Axiome, c'est très intéressant.
par chaa13 » 18 Oct 2012, 22:10
Merci, peux-tu me diriger sur un site pour l'axiomatisation de la géométrie élémentaire par Euclide ? Car je "connais" la définition d'axiome mais j'ai pas vraiment manipuler, le titre ne me dit rien, enfin je ne vois pas trop ce que ça peut être !
Sinon pas d'idée pour cette histoire de S(1+0)=S(1) ou jattends que léon1789 ce connecte ?
Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!
Sinon pas d'idée pour cette histoire de S(1+0)=S(1) ou jattends que léon1789 ce connecte ?
Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!
par Kikoo <3 Bieber » 18 Oct 2012, 22:14
chaa13 a écrit:Merci, peux-tu me diriger sur un site pour l'axiomatisation de la géométrie élémentaire par Euclide ? Car je "connais" la définition d'axiome mais j'ai pas vraiment manipuler, le titre ne me dit rien, enfin je ne vois pas trop ce que ça peut être !
Sinon pas d'idée pour cette histoire de S(1+0)=S(1) ou jattends que léon1789 ce connecte ?
Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!
Sachant que par définition, S(0)=1 et S(n)=n+1, nous avons S(1)=S(S(0))=1+1=2
Notons que pour Péano, 0 est le neutre de (N,+) : c'est ce qui justifie ton interrogation si je ne me trompe pas.
par chaa13 » 18 Oct 2012, 22:23
Ouai mais S(1)=S(S(0))=1+1=2 c'est un peut bizarre comme preuve car je passe par S(S(0)) qui est lui même une addition (Ouai je le sais sérieusement c'est très énervant pour vous a chaque fois : je dit c'est pas une preuve suffisante désolé)
Heu ... Ou est ce que Péano parle de monoïde ? Car je bloque a la partie Arithmetie de Péano a ce lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
Je suis vraiment désolé avec ces contradiction :p !
Merci d'avance !!!!!!!!
Heu ... Ou est ce que Péano parle de monoïde ? Car je bloque a la partie Arithmetie de Péano a ce lien : http://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Peano
Je suis vraiment désolé avec ces contradiction :p !
Merci d'avance !!!!!!!!
par Dlzlogic » 18 Oct 2012, 22:24
Bon, essayons de rester calme et serein.
J'ai un boulier que m'a rapporté ma fille du Vietnam. Ca sert à faire des additions. Si on veut faire la somme de deux objets et de deux objets, on avance deux boules, puis deux boules. On obtient 4 boules.
Comme nous, on est paresseux, on écrit ça sur un papier.
Il a fallu trouver un symbole pour représenter le nombre "deux", on a choisi '2'.
Il a fallu trouver un symbole pour représenter le nombre "quatre" on a choisi "4".
Les romains on choisi autre chose II + II = IV. L'expérience a montré que c'était moins pratique, mais ça matche aussi.
Ais-je répondu ?
J'ai un boulier que m'a rapporté ma fille du Vietnam. Ca sert à faire des additions. Si on veut faire la somme de deux objets et de deux objets, on avance deux boules, puis deux boules. On obtient 4 boules.
Comme nous, on est paresseux, on écrit ça sur un papier.
Il a fallu trouver un symbole pour représenter le nombre "deux", on a choisi '2'.
Il a fallu trouver un symbole pour représenter le nombre "quatre" on a choisi "4".
Les romains on choisi autre chose II + II = IV. L'expérience a montré que c'était moins pratique, mais ça matche aussi.
Ais-je répondu ?
par chaa13 » 18 Oct 2012, 22:29
HAAAAA OUI je viens de penser a ce que tu as écrit et a ce que je vien de dire "S(0) est une addition", comme (N,+) est un monoïde x + e = x ! OUUUI ^^
Ok la je suis bien d'accord oui la tout est plus claire mais si j prend autre choses que 0 ....
@Dlzlogic
Bas enfait oui c'est sur qu'on donné des signification mais des qu'on passe avec les nombre et rien qu'avec les nombre ...
Ps : j'adore le calcul par boulier malheureusement je ne sais que faire l'addition :P
Ok la je suis bien d'accord oui la tout est plus claire mais si j prend autre choses que 0 ....
@Dlzlogic
Bas enfait oui c'est sur qu'on donné des signification mais des qu'on passe avec les nombre et rien qu'avec les nombre ...
Ps : j'adore le calcul par boulier malheureusement je ne sais que faire l'addition :P
Qui est en ligne
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 3 invités
Tu pars déja ?
Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !
Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Identification
Pas encore inscrit ?
Ou identifiez-vous :