2+2=4 ?

[beagle]

Dlzlogic,
lorsque tu fais cela tu ne définis rien,
j'ai moi-mème utilisé du 2 et 2, tiens le + a disparu,
donc normal que les mathématiciens définissent ce qu'ils font,
dans le message de Léon il y a une défintion de l'addition.

alors on sait tous faire la différence entre une addition et une soustraction,
mais si on veut définir les choses, cela se fabrique, brique après brique,
comme ils le font.
parce qu'après tu peux le faire dans des variations, des trucs de plus en plus balaises,...

là où on peut mettre un grain de sel, mais on est à un niveau différent,
c'est que le 4 qui est le 3+1, la définition de la quantité par le +1,
ne renseigne absolument pas sur ce qu'est 4, sur ce qu'est une quantité.
bon, donc comme toi, j'ai dit 4 n' a pas à ètre démontré comme un 2+2,
puisuqe c'est la-une majeure définition de 4.

mais cela n'enlève rien à ce que fait chaa!

[Kikoo <3 Bieber]

HAAAAA OUI je viens de penser a ce que tu as écrit et a ce que je vien de dire "S(0) est une addition", comme (N,+) est un monoïde x + e = x ! OUUUI ^^
Ok la je suis bien d'accord oui la tout est plus claire mais si j prend autre choses que 0 ....
@Dlzlogic
Bas enfait oui c'est sur qu'on donné des signification mais des qu'on passe avec les nombre et rien qu'avec les nombre ...
Ps : j'adore le calcul par boulier malheureusement je ne sais que faire l'addition

Hum... aucune idée de ce qu'est un monoïde, mais n'est-ce pas ce que j'ai écrit ?

Comme 0 est le neutre de (N,+) pour Péano, alors nous avons pour tout x de N, x+0=x.
Donc S(1+0)=S(1) qui est immédiat...

Je vois ce qui te gène : Si on a S(S(x)), x de N, alors nous pouvons écrire par définition que ce nombre vaut (x+1)+1=x+(1+1)=x+2 (l'addition est associative dans le N de Péano).
En appliquant ceci pour x=0, nous avons S(S(0))=(0+1)+1=0+(1+1)=S(1)=0+S(1)=2

[chaa13]

Heu normalement monoïde = Magma unitaire associatif donc presque un groupe manque plus que la symétrie !
Ouai la c'est sur que c'est bien mais S(n) = n+1 ... Donc on a réussi a montrer que S(1+0) = S(1) donc S(1) = n+1 = 1+1 et la je retombe sur mon problème !!!! Comment faire ??


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
PS : je vien de voir ton poste mais comme d'hab je retombe sur cette histoire de n+1 ^^

[Kikoo <3 Bieber]

Heu normalement monoïde = Magma unitaire associatif donc presque un groupe manque plus que la symétrie !
Ouai la c'est sur que c'est bien mais S(n) = n+1 ... Donc on a réussi a montrer que S(1+0) = S(1) donc S(1) = n+1 = 1+1 et la je retombe sur mon problème !!!! Comment faire ??


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

S(n+1)=(n+1)+1=n+(1+1)=n+2 et non pas 1+1, si on prend n quelconque de N !
Mais quel est donc ton problème ?

[chaa13]

Quand tu met : S(n+1)=(n+1)+1=n+(1+1)=n+2 si n = 1 ca va faire 1+2 = ... ET la je veux démontrer ! Ou même quand je met : S(1+0)=S(1) = 1+1 ... Je retombe sur ce foutu 1+1 !!!! On dirait que c'est une boucle infernal mdr !
Sur ce je vais aller me coucher (malheureusement j'ai un DS d'allemand demain) je vais y réfléchie demain au lycée !

En tout cas merci beaucoup et peut être (j’espère) a demain on pourra continuer la conversation !

[Kikoo <3 Bieber]

Quand tu met : S(n+1)=(n+1)+1=n+(1+1)=n+2 si n = 1 ca va faire 1+2 = ... ET la je veux démontrer ! Ou même quand je met : S(1+0)=S(1) = 1+1 ... Je retombe sur ce foutu 1+1 !!!! On dirait que c'est une boucle infernal mdr !
Sur ce je vais aller me coucher (malheureusement j'ai un DS d'allemand demain) je vais y réfléchie demain au lycée !

En tout cas merci beaucoup et peut être (j’espère) a demain on pourra continuer la conversation !

Oui, et on définit 1+1=2
Donc 2+2=1+1+1+1=S(S(S(S(0))))=4
Or 4 est le quatrième nombre suivant 0.

CQFD non ?

[leon1789]

Argh je suis comblé ^^ merci beaucoup !!! Par contre je vais être chiant (et oui encore)... la méthode que j'ai retenu est 1+1 = 1+S(0) = S(1+0) = S(1) = 2 et l'histoire de s(s(s(s(0))))) = 4 !
Donc ok mais ... qui a dis que S(1+0) = S(1)??Comment faire pour dire que 1+0 = 1 ??

a+0 = a est l'initialisation de la récurrence définissant l'addition. Regarde bien.

On définit l'addition de deux entiers naturels a+b par récurrence sur b :
a + 0 = a,
et a + S(b) = S(a+b).

Donc en particulier, 1+0 = 1.


EDIT : on définit l'addition à partir de la fonction successeur, pas l'inverse.

[Alannaria]

a+0 = a est l'initialisation de la récurrence définissant l'addition. Regarde bien.


Donc en particulier, 1+0 = 1.


EDIT : on définit l'addition à partir de la fonction successeur, pas l'inverse.

Génial ! Quant à ce qui a trait aux représentations des nombres et des opérations, celles de la machine en base b me semblent plus directes et faciles à appréhender ou assimiler pour un débutant en la matière. :girl2:

[beagle]

Juste pour le fun, car je trouve normale la démarche de Chaa13:

tu as démontré que 2+2 font 4, de façon très rigoureuse,
mais tu ne sais pas ce qu'est 4!!!!
hi,hi,hi!
Donc tu parles très rigoureusement de quelque chose que tu ne connais pas.

[Alannaria]

Oui le 4 est un chiffre et ceux qui sont captivés par son histoire autant que par celle du 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 0, etc., doivent absolument avoir lu en diagonale au moins "l'histoire universelle des chiffres" en 2 tomes de G.Ifrah. Pour les exclus des goûts livresques de la taille de romans de Tolstoï, que reste-il ? Les Digests (enfin, à consommer sans limitation...). Ainsi l'apparition des nombres en diverses civilisations est évoqué.

[leon1789]

Petit défi pour chaa13 :

montrer que a+b = b+a pour tout couple d'entiers naturels a,b :we:

[Kikoo <3 Bieber]

Petit défi pour chaa13 :

montrer que a+b = b+a pour tout couple d'entiers naturels a,b :we:

Salut Léon

Peut-on supposer que l'addition est associative dans N ?

[leon1789]

Salut Kikoo <3 Bieber !

Salut Léon

Peut-on supposer que l'addition est associative dans N ?

Ah non, on ne peut pas supposer. A la rigueur, le démontrer si cela est utile (et pas plus compliqué que la commutativité :lol3: )

[chaa13]

hey ! :p Ais-je le droit de dire que comme (N,+) est un magma unitaire (associatif mais on le sais pas encore) on sait que : x+e=e+x=x ??
En disant que e est l’élément neutre ?
Et d'ailleur comme c'st un monoïde c'est forcement associatif ... Mais le probleme c'est ce que je vien de dire ne sert a rien

Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!

[beagle]

Bon, il doit bien exister plusieurs méthodes,
définir la soustraction comme l'addition qui recule de 1 en 1, puis ...

ma démonstration préférée est que comme Péano a l'air de faire du 1+1+1+
le mieux c'est de faire un collier de 1+1 où on boucle les 1+1 donc le collier a+b
on le retourne et on a un collier de b+a,
c'est idem de faire avec symétrie axiale à la fin de a+b

Léon, pas la tète, pas la tète Léon,
j'efface ça dans 30 mn!

si chaa13 a le droit au magma et auè monoide, j'ai le droit au collier!


PS: en fait dans la bijection par la symétrie axiale on a les derniers 1 de b qui deviennent les premiers 1 de b, donc faut juste dire que 1+1+1...+1 avec b 1 est idem à 1+...+1+1+1 avec b 1, le premier 1 de b devient le dernier de b, le deuxième 1 de b devient l'aavnt dernier 1 de b ...

[Kikoo <3 Bieber]

hey ! :p Ais-je le droit de dire que comme (N,+) est un magma unitaire (associatif mais on le sais pas encore) on sait que : x+e=e+x=x ??
En disant que e est l’élément neutre ?
Et d'ailleur comme c'st un monoïde c'est forcement associatif ... Mais le probleme c'est ce que je vien de dire ne sert a rien

Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Oui en effet, ce que tu dis concerne un cas moins général et ne constitue pas une démonstration.
Bon courage !

[Dlzlogic]

Petit défi pour chaa13 :

montrer que a+b = b+a pour tout couple d'entiers naturels a,b :we:

Bonsoir,
Tu précises que la question est posée pour tout couple d'entiers naturels. Je suppose que ce n'est pas seulement pour remplir la ligne.
En effet, dans certains cas, et dans certain contexte, ceci n'est pas vrai pour des nombres réels.

[Skullkid]

Tu précises que la question est posée pour tout couple d'entiers naturels. Je suppose que ce n'est pas seulement pour remplir la ligne.
En effet, dans certains cas, et dans certain contexte, ceci n'est pas vrai pour des nombres réels.

Il précise qu'on parle d'entiers naturels parce que dans le contexte de l'exercice, il n'y a que les entiers naturels qui sont définis.

L'addition sur les réels est commutative, quels que soient les réels a et b, on a toujours a+b = b+a. C'est vrai dans tous les cas, dans tous les contextes (enfin, sauf si t'amuses à définir un autre +, là il s'agirait d'un contexte de mauvaise foi). Et comme je te vois venir : non, un nombre flottant ça n'est pas un nombre réel, et l'addition sur les flottants ça n'est pas l'addition sur les réels. Il ne s'agit pas de contexte, il s'agit d'objets différents, et c'est d'ailleurs pour ça qu'ils ont deux noms différents.

[beagle]

salut skullkid, t'as du rater ma superbe démonstration: je la remets pour une durée limité:
Péano c'est des 1+1+1+...
donc on met les 1 de a, on met les 1 de b
au bout de tout cela on trace une verticale, et on fait une symétrie axiale des 1,
qui nous donne les 1 de b puis les 1 de a
sauf que c'est les 1 de b à l'envers donc faut d'abord faire une bijection des 1 de b à l'endroit vers ceux à l'envers, idem pour a,
et ensuite bijection des 1 par symétrie axiale.
.

j'avais la mème chose avec un collier de 1, et on retourne le collier.

la numération c'est de la géométrie.

PS: j'efface avant que Léon ne lise, dépèche toi skullkid!

[chaa13]

Hey ! Alors pouvez vous m’éclairer sur la manière de démontrer ça ?


Merci d'avance !!!!!!!!!!!