2+2=4 ?

[Skullkid]

Comme l'addition est définie par récurrence à partir de la fonction S, il s'agit de faire un raisonnement par récurrence. En fait, le raisonnement par récurrence utilise l'un des axiomes de Péano qu'on a un peu passé sous silence précédemment :

Si A est un sous-ensemble de N tel que :
- A contient 0
- Si n appartient à A alors S(n) appartient à A
Alors A est égal à N tout entier.

Autrement dit, pour montrer que quelque chose est vrai pour tout entier naturel, il suffit de montrer que c'est vrai pour 0 et que si c'est vrai pour un n donné, alors c'est vrai pour son successeur.

Je rappelle la définition de l'addition (on ne sait pas qu'elle est commutative pour l'instant) :
a+0 = a
a+S(b) = S(a+b)

Commence par essayer de montrer par récurrence que pour tout entier naturel a, 0+a = a. Et essaye de voir comment tu peux t'en servir pour démontrer le cas général a+b = b+a.

[chaa13]

Heu ... j'ai pas fait la récurrence mais sinon ai-je le droit de dire pôur 0+a=a que comme 0 et l'élément neutre de (N,+) on aura 0+a=a !

MErci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Kikoo <3 Bieber]

Heu ... j'ai pas fait la récurrence mais sinon ai-je le droit de dire pôur 0+a=a que comme 0 et l'élément neutre de (N,+) on aura 0+a=a !

MErci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Salut Chaa )

Skullkid te suggère de faire une récurrence pour montrer que 0+a=a
En effet a appartient à N, ce qui permet un tel raisonnement.

[chaa13]

Mais je sais pas trop comment faire une récurrence !

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'adore ces raisonnements, alors je m'y essaye.
Je ne connais pas Pénao, je ne connais pas cette fonction S(n).
Je propose cette définition d'un nombre entier : quel que soit un entier A il existe un entier B tel que B=A+1.
Le caractère '1' représente l'unité, l'élément neutre de l'addition est 0. Le premier entier est B=0+1, le suivant C=B+1.
Tout entier peu s"écrire sous forme 1+1+1+1+...+1.
Soit à démontrer que a+b=b+a.
a=1+1+1+...+1 ; b=1+1+1+1+1+...+1
a+b=1+1+1+...+1 b+a=1+1+1+...+1
CQFD

[chaa13]

C'est çà le raisonnement par récurrence ?

Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!

[Kikoo <3 Bieber]

C'est çà le raisonnement par récurrence ?

Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!

Non,

Voir un ancien de tes posts (l'un des premiers) si tu veux savoir ce que c'est :p

[Skullkid]

Bonjour,
J'adore ces raisonnements, alors je m'y essaye.
Je ne connais pas Pénao, je ne connais pas cette fonction S(n).
Je propose cette définition d'un nombre entier : quel que soit un entier A il existe un entier B tel que B=A+1.
Le caractère '1' représente l'unité, l'élément neutre de l'addition est 0. Le premier entier est B=0+1, le suivant C=B+1.
Tout entier peu s"écrire sous forme 1+1+1+1+...+1.
Soit à démontrer que a+b=b+a.
a=1+1+1+...+1 ; b=1+1+1+1+1+...+1
a+b=1+1+1+...+1 b+a=1+1+1+...+1
CQFD

Il y a plusieurs problèmes dans ce raisonnement. Le premier c'est les points de suspension. On ne peut pas se les permettre dans ce contexte. Il s'agit de montrer des propriétés qui apparaissent comme une évidence parce que les entiers on connaît ça depuis qu'on est petit, du coup il faut faire extrêmement attention à ne pas utiliser sans s'en rendre compte une propriété qu'on n'a pas encore démontrée. Dans ton cas, tu te sers déjà des entiers pour compter, tu dis que a c'est une somme de a 1. Sauf qu'on sait pas ce que ça veut dire 'a 1' ou 'a pommes'. Le deuxième problème c'est ta définition des entiers qui n'en est pas une, ce que tu donnes c'est une propriété des entiers, qui est aussi satisfaite par les réels d'ailleurs (qui n'existent pas encore dans note construction). Ensuite, tu dis que 0 est l'élément neutre de l'addition, ça n'a pas encore été prouvé, on sait juste que 0 est neutre à droite puisque ça fait partie de la définition de l'addition.

Tout doit se faire par récurrence ici, puisque ce que dit la définition de l'addition ici c'est "dès que je sais calculer a+b alors je sais calculer a+S(b), et comme je sais calculer a+0, je sais calculer toutes les additions".

Cela dit, chaa13, c'est bien d'être curieux et de s'intéresser aux fondements et tout, mais ça demande un certain niveau d'abstraction avec lequel il est normal d'avoir du mal quand on n'y a jamais été confronté. Pour l'instant tu peux peut-être te contenter d'explications un peu grossières, plutôt que de voir le raisonnement entier déroulé ?

[chaa13]

Heu ...pour la récurrence c'est le poste avec les imaginaire, racine de -25 ?
@Skullkid
Ouai je sais que j'ai absolument pas le niveau pour pouvoir faire totalement (et même partiellement certainement) ça mais j'aimerais essayer de le comprendre même très très partiellement juste pour que je me dise : HHAA oui c'est comme ça que l'on fait pour additionner :p mais même la vision partielle des chose me semble loin mdr !


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Alannaria]

La construction des entiers naturels et leurs propriétés élémentaires dans le cadre de la théorie des ensembles

[chaa13]

Merci, mai ya juste un truc bizarre : il dise que ??? Comment il on fait ca, moi je me sert du pour faire par exemple : !!


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!

[Skullkid]

Le lien en question donne une vision plus "constructiviste" que celle de Péano. Là où Péano ne dit pas ce que sont les entiers naturels et se contente de donner certaines de leurs propriétés, avec la théorie des ensembles on peut dire ce que sont les entiers et ce qu'est la fonction successeur.

Du point de vue de la théorie des ensembles, il n'y a QUE des ensembles. Tous les objets mathématiques sont des ensembles, dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles. Ainsi, un entier naturel c'est un ensemble. Comme, à la base de la théorie, le seul ensemble qu'on a à disposition c'est l'ensemble vide, on définit l'entier naturel 0 comme étant égal à l'ensemble vide. Et ensuite on peut définir le successeur d'un entier naturel n comme étant l'ensemble n U {n}, c'est-à-dire l'ensemble dont les éléments sont tous les éléments de n, plus un nouvel élément qui est l'ensemble n lui-même. D'où :

0 = vide
1 = 0 U {0} = vide U {vide} = {vide}
2 = 1 U {1} = {vide} U {{vide}} = {vide,{vide}}
3 = 2 U {2} = {vide,{vide}} U {{vide,{vide}}} = {vide,{vide},{vide,{vide}}}

Et ainsi de suite, ça devient très vite très pénible à écrire... On peut noter que l'entier 0 est un ensemble qui ne contient aucun élément, l'entier 1 est un ensemble qui contient un élément, l'entier 2 est un ensemble qui contient deux éléments, l'entier 3 est un ensemble qui contient trois éléments, etc.

On peut aussi écrire, de façon équivalente :

0 = vide
1 = {0}
2 = {0,1}
3 = {0,1,2}
4 = {0,1,2,3}
...

[chaa13]

Mais comment on passe de 1 = 0 U {0} ??? Ca devrait être égale a 0 !!


Merci d'avance !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Dlzlogic]

Moi, je dirai que le signe "=" n'a encore pas été défini comme une égalité arithmétique, mais qu'il s'agit d'un "comptage" d'ensembles.

[Skullkid]

Dans la (les ? la plupart des ?) théorie des ensembles, l'égalité est en partie définie par un axiome qui dit que deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes éléments.

Si E est un ensemble, disons à 5 éléments, alors {E} est un autre ensemble qui n'est pas E et qui contient un seul élément : E. Ainsi E U {E} est un ensemble qui contient 6 éléments : ceux de E, et E lui-même. Par exemple si E = {1,2,3,4,5}, alors E U {E} c'est l'ensemble {1,2,3,4,5,{1,2,3,4,5}} qui contient 6 éléments : 1, 2, 3, 4, 5 et {1,2,3,4,5}.

Comme 0 ne contient aucun élément, 0 U {0} c'est l'union d'un ensemble à zéro élément et d'un ensemble à un élément, c'est donc un ensemble à un élément, cet élément est 0.

[Anty28]

Sur Wikipédia, on a la démonstration suivante :

Nous allons prouver la commutativité par récurrence sur le second argument b.
Initialisation : pour tout a, a + 0 = a = 0 + a et a + 1 = 1 + a
La preuve de l'initialisation se fait par récurrence sur a. On a vu par ailleurs que
b+ 1 = b+
Hypothèse de récurrence : pour tout a, a + b = b + a
a + b+
= a + (b + 1)
= (a + b) + 1 [d'après l'associativité]
= (b + a) + 1 [par hypothèse]
= b + (a + 1) [d'après l'associativité]
= b + (1 + a) [en utilisant l'initialisation]
= (b + 1) + a [d'après l'associativité]
= b+ + a

Qu'en pensez-vous ?

[Skullkid]

Elle est correcte, à condition d'avoir démontré l'associativité de l'addition au préalable, ce qui n'est pas notre cas ici. Mais l'idée de base est la même : on montre par récurrence sur a que 0+a = a+0, ce qui sert d'initialisation pour montrer par récurrence sur b que b+a = a+b.

[zermel0]

C'est la commutativité dont tu parles SKullkid

[Dlzlogic]

Bonjour,
Oh là, moi, je suis en admiration.
Seulement dommage que pour ce qui concerne les mathématiques utiles dans la réalité, on ne retrouve pas la même rigueur et qu'on se limite souvent à des principes et théories théoriques qu'on en oublie que seules les applications dans le monde réel peuvent être utilisées dans la pratique.

[Sylviel]

Et comment savoir ce qui s'applique ou non dans le monde réel ?

Qui aurait pensé que les complexes auraient une telle utilité ? Quel étudiant pense que la diagonalisation à de telles applications ? Que la théorie des groupes à des applications ?

Par ailleurs l'étude de la théorie en maths permet d'avoir un esprit rigoureux pour faire des raisonnements correct...